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模块综合检测(B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析： 求出复数z，再确定z对应的点的坐标．
∵＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限．
答案： D
2．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
解析： 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况．从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大
．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
答案： B
3．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )
A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错
C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错
解析： 推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0<a<1时，y＝ax是减函数；当a>1时，y＝ax是增函数．
答案： A
4．若复数z＝(b∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则复数z的共轭复数是( )
A．i B．－i
C．i D．－i
解析： 因为z＝＝＝＋i是纯虚数，所以2＋b＝0且2b－1≠0，
解得b＝－2.
所以z＝－i，则复数z的共轭复数是i.
答案： C
5．类比平面内正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．②
C．③ D．①②③
解析： 三个性质都是正确的，但从“类比”角度看，一般是“线→面”、“角→二面角”．
答案： B
6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－1处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
解析： 由题意知f′(－1)＝0，
当x<－1时f′(x)<0，当x>－1时f′(x)>0，
∴当x<－1时，x·f′(x)>0，
当－1<x<0时，x·f′(x)<0，
当x>0时，x·f′(x)>0.
答案： B
7．若dx＝3＋ln 2且a>1，则实数a的值是( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析： dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，所以a＝2.
答案： A
8．观察式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，则可归纳出一般式子为( )
A． 1＋＋＋…＋＜(n≥2)
B． 1＋＋＋…＋＜(n≥2)
C． 1＋＋＋…＋＜(n≥2)
D． 1＋＋＋…＋＜(n≥2)
解析： 由合情推理可得．
答案： C
9．在平面内有n(n∈N＋，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(9)等于( )
A．18 B．22
C．37 D．46
解析： f(3)＝7，
f(4)－f(3)＝4，
f(5)－f(4)＝5，
…
f(n)－f(n－1)＝n.
以上各式相加：
∴f(n)＝7＋4＋5＋…＋n
∴f(9)＝7＋4＋5＋…＋9＝7＋＝46.
答案： D
10．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析： 设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．
又y′＝，
∴y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，
∴y0＝0.∴x0＝－1.∴a＝2.
答案： B
11．定义复数的一种运算z1* z2＝ (等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为( )
A． B．
C． D．
解析： z*＝＝＝
＝，又∵ab≤2＝，
∴－ab≥－，z*≥ ＝ ＝.
答案： B
12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析： 由题意知g(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，且g(1)＝0，
∵f(x)是R上的奇函数，
∴g(x)是R上的偶函数．
的草图如图所示：
由图象知：当x>1时，f(x)>0，
当－1<x<0时，f(x)>0.
∴不等式f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析： 根据题意先求出P，Q的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点．
因为y＝x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P，Q两点处切线的斜率的值为4或－2.
所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，
将这两个方程联立方程组求得y＝－4.
答案： －4
14.(＋x)dx＝________.
解析： dx＝π，
xdx＝x2＝－0＝，
∴(＋x)dx＝π＋.
答案： π＋
15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________
________________________________________________________________________.
解析： 表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为.
答案： 表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为
16．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
解析： f′(x)＝3x2＋2x＋m要使f(x)是R上的单调函数，
需使Δ＝4－12m≤0，
∴m≥.
答案： m≥
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若复数z＝1＋i，求实数a，b使得az＋2b＝(a＋2z)2.
解析： 由z＝1＋i，可知＝1－i，代入az＋2b＝(a＋2z)2，得a(1＋i)＋2b(1－i)＝[a＋2(1＋i)]2，即a＋2b＋(a－2b)i＝(a＋2)2－4＋4(a＋2
)i.
所以
解得或
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解析： 当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln 2＝(x－1)，
即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn<(n＋1)n.
证明： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k；
那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)可知，不等式对任意n∈N*都成立．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－(a＋1)x2＋4ax＋b，其中a，b∈R.
(1)若函数f(x)在x＝3处取得极小值，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若函数f(x)在(－1,1)内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．
解析： (1)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a，
所以f′(3)＝9－6(a＋1)＋4a＝0，得a＝.
由f(3)＝，解得b＝－4.
(2)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2a)(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝2a或x＝2.
当a>1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2a，＋∞)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(2，＋∞)．
(3)由题意可得
解得－<a<.
所以a的取值范围是.
21．(本小题满分13分)某厂生产产品x件的总成本c(x)＝1 200＋