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注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A．1 B． C． D．0
2．在中，内角的平分线交边于点，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数满足则的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．0
4．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：
55
57
59
61
68
64
62
59
80
88
98
95
60
73
88
74
86
77
79
94
97
100
99
97
89
81
80
60
79
60
82
95
90
93
90
85
80
77
99
68
如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)（ ）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．%
D．%
9．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
11．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②点是函数的一个对称中心；
③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．设，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设为正实数，若则的取值范围是__________．
14．已知椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________．
15．已知实数 满足，则的最大值为________.
16．记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积.
18．（12分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
（1）求的解析式；
（2）若方程有两个实根，且，求证：.
19．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，成等差数列，求的值；
（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．（12分）已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）
（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；
（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.
22．（10分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，，得到下表：
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
【详解】
由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过1段后又回到起点，
可以看作以1为周期，
由，
白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，
黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，
所以它们此时的距离为.
故选B.
【点睛】
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
2、B
【解析】
利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，进而求出，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】
为的角平分线，则.
，则，
，
在中，由正弦定理得，即，①
在中，由正弦定理得，即，②
①②得，解得，，
由余弦定理得，，
因此，的面积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
3、B
【解析】
作出可行域，平移目标直线即可求解.
【详解】
解：作出可行域：
由得，
由图形知，经过点时，其截距最大，此时最大
得，
当时，
故选：B
【点睛】
考查线性规划，是基础题.
4、C
【解析】
先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.
【详解】
因为，
所以是奇函数，故排除A，B，
又，
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
5、D
【解析】
根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】
由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以.
故选：D
【点睛】
本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.
6、A
【解析】
点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【详解】
不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，
因为，，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立，
此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入可得，．
所以双曲线的方程为．
故选：
【点睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7、C
【解析】
由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．
【详解】
的二项展开式中二项式系数和为，．
故选：C．
【点睛】
本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．
8、D
【解析】
根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.
【详解】
对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；
对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；
对C，%，故C正确，；
对D，%，故D错误
故选：D.
【点睛】
本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
9、C
【解析】
设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．
【详解】
若直线与曲线切于点，则，
又∵，∴，∴，解得，，
∴过点与曲线相切的直线方程为或，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10、D
【解析】
由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．
【详解】
解：由题意，圆的圆心为，半径，
∵圆心到直线的距离为，