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高三数学综合能力测试（3）
填空题
1．若集合，，则 。
2．．设a是实数，且是实数，则a=
3．设双曲线的离心率，则双曲线的两条渐近线夹角的取值范围是 。
4．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为 。
5．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则的值为 。
6．棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是 ；设E，F分别是该正方体的棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 。
7．设函数是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为 。
8．设集合，，若，且的最大值为9，则的值是 。
9．已知是（－∞，＋∞）上的减函数，那么的取值范围是 。
10已知，，且，则 。
11．已知数列{an}中，a1=,an+1=an+，则an=________．
12．设有一组圆：。下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交
③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点。
其中真命题的代号是 。（写出所有真命题的代号）
13．设集合M={1，2，3，4，5，6），S1，S2，…，都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的，，都有（表示两个数，中的较小者），则的最大值是
14．如下图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在、、上，则△ABC的边长是
二、解答题
△ABC的周长为，且。
（1）求边AB的长；
（2）若△ABC的面积为，求角C的度数。
16. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C与底面ABC所成的角为，AB=BC=，∠ABC=，
A
A1
C
B
F
E
B1
C1
设E、F分别是AB、A1C的中点。
(1)求证：BC⊥A1E；
(2)求证：EF∥平面BCC1B1；
17．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
（1），从中任意取出4件进行检验。求至少有1件是合格品的概率；
（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收。求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率。
18. 已知直线L：x-y-3=0，抛物线C的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，S是抛物线C上任意一点，T是直线L上任意一点，若|ST|的最小值为d>0时,点S的横坐标为2.
（1）求抛物线方程以及d的值；
（2）过抛物线C的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，，
证明：；
（3）设R为抛物线准线上任意一点，过R作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，直线MN是否恒过一定点？若恒过定点，请指出定点；若不恒过定点
，请说明理由。
19. ）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.
：如果常数，那么该函数在（0，）上是减函数，在上是增函数。
（1）如果函数的值域为[6，＋∞），求的值；
（2）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。
参考答案
一、填空题
1． 2． 1 3． 4． 5．2
6． 7．0 8． 9． 10． 11．或或; 12．②④ 13．11 14.
二、解答题
15．解：（1）由题意及正弦定理，得，
两式相减，得AB=1
（2）由△ABC的面积，得
由余弦定理，得
所以C=60°
16. 解： (I)由已知有BC⊥AB，BC⊥B1B，∴BC⊥平面ABB1A1
又A1E在平面ABB1A1内 ∴有BC⊥A1E
(II)取B1C的中点D，连接FD、BD
=
=
=
∵F、D分别是AC1、B1C之中点，∴FD∥A1B1∥BE
∴四边形EFBD为平行四边形 ∴EF∥BD
又BD平面BCC1B1
∴EF∥面BCC1B1
17. 解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件来算，有
（2）可能的取值为0，1，2
，，
0
1
2
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B
则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为。
18. ．解：（1）设抛物线方程为，
由
∴，∴抛物线方程为；
（2）依题意，可设直线的方程为 代入抛物线方程得
①
设两点的坐标分别是 、、是方程①的两根
所以
由点分有向线段所成的比为，得
又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而.
所以
（3）设，，，∵，
∴的方程为；
∵过，∴，同理
∴为方程的两个根；∴；
又，∴的方程为
∴，显然直线过点
19. 解：（Ⅰ）将点代入中得
（Ⅱ）
（Ⅲ）由
20．解：（1）函数的最小值是，则，∴
（2）设，
当时，，函数在上是增函数；
当时，，函数在上是减函数。
又是偶函数，于是，
该函数在上是减函数，在上是增函数。
（3）可以把函数推广为（常数），其中是正整数。