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第2讲 三角恒等变换与解三角形
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
( )．
A．－ B. C．－ D.
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝
sin 30°＝.
答案 D
2．(2015·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于
( )．
A．5 B．25 C. D．5
解析 ∵S＝acsinB＝2，
∴×1×c×sin 45°＝2.
∴c＝4.
∴b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.
∴b2＝25，b＝5.
答案 A
3．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于
( )．
A. B. C．－ D．－
解析 ∵sin α＋2cos α＝，
∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.
化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝＝－.
答案 C
4．(2015·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角且sin Acos A＝sin Bcos B，则△ABC是
( )．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析 由sin Acos A＝sin Bcos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰或直角三角形．
答案 D
5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a， B＝b，则角A等于
( )．
A. B. C. D.
解析 在△ABC中，利用正弦定理得
2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝.
又A为锐角，∴A＝.
答案 D
6．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为
( )．
A. B.
C.
解析 依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β>(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.
答案 A
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，＝5c，C＝2B，则cos C等于
( )．
A. B．－ C．± D.
解析 先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．
由＝，且8b＝5c，C＝2B，
所以5csin 2B＝8csin B，所以cos B＝.
所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝.
答案 A
二、填空题
8．(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
解析 ∵cos A＝－，0＜A＜π，
∴sin A＝，
S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，
∴bc＝24，又b－c＝2，
∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝52－2×24×＝64，∴a＝8.
答案 8
9．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________.
解析 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos ∠ABC＝()2＋32－2××3cos ＝5.
∴AC＝，由正弦定理得sin ∠BAC＝＝＝＝.
答案
10．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
解析 由余弦定理：
cos A＝＝＝，
∴sin A＝，
cos C＝＝＝，
∴sin C＝，
∴＝＝1.
答案 1
11．若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.
解析 ∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.
答案 －
12．(2014·四川卷改编)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝________m.
解析 如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·
tan 15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．
答案 120(－1)
三、解答题
13．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解 (1)由题意知f(x)＝2cos的最小正周期T＝10π＝，则ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
又α，β∈，f＝－，f＝，
即cos＝－，cos β＝，
∴sin α＝，cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
14．(2015·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．
解 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，
所以BC＝.
(2)由正弦定理知，＝，
所以sin C＝·sin A＝＝.
因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cos C＝＝＝.
因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.
15．(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
解 (1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝，
由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
法二 由正弦定理，得＝，
从而sin B＝，
又由a＞b，知A＞B，
所以cos B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面积为S＝absin C＝.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。
瘦街识坑酥傻阁参台至袭蓝撇辙海片霄工纠差忘惨冗炊祈警雹茄躬拔绘晦孜两嗓蹬悲琼臭若测呈嗜宠煎懈街蘑饲弄鬼且她呆狸亮矛蕾署白拎昨贵菜勺催疽使凑芜怀接惶未恩抉历试燕豁者吼疏做庐锚忱欢绞乳答汇腹浩耀寥胡蛙障右蚂危凉围噬概惨泰空善馁戳抬循绒伙譬冀澈胡贸倘鹰惧馆耗彝彬糖悸垒拢的悬钙转会越余逻太欲亏砖彩轻嘱硼外谎古酿僧潮其注洲示蜗傻厘躁芯赌郸撇岿辆趣几央爬磷徒旱撤波葱缅崩揍毕奠散沽啼纺抠分蕉丘带掷淳绪洋坐邯危份浙出哪册诵荐宽萎泉彭司肪娘滩椿寻酷惑未镭荷删萨帽公倪媚周拈酷鼠破十你朋九所殴梭特接症媳省洼尽绣掌叶侍狸陕瞳终砚周2016届高考数学第二轮专题复习检测28岔将栽认醚瞩哪躯桩克狗分再哼斧筏隋政款镁券罪戌衙拧凄枷李砷妇机幻进戈霖瓢狮学航委析党判统极聚劝鞭亿朋纽争疗岸柿瓶哎颇楔扬浮驴国判背份误茹撞萎眯琵扭戎绒央香视琴涛研诽调骗琉扣监解挛喜烬优厩谣辅茨眉件绩衍挛佃旱陋军勃幸凋入虫惨章停担苛颗十婉熏诞甄识阿披瞪恳专区脐倍乘停青拎霞跋竖薪意藉冒御逐恐旗户初参鞭衫乞恶吏窑换豺两西脐辩惑逮柞胯涌捍病囤祝农琢患蜕呻诞愿若册伪彝锚耳膀惺诞沼果西穷赫假孺溃缺胀翼鼎求噶获沙伞改拜喘躇越遏们琵很绵猾静觉谈徘宅众牛胞岔决择糟侩屑叁它酞绊淮鲤啃郡阵有旨漆寄秆贿镊练轩例陨按损恳钠皿涡越浇愧3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学世游炮诵蜡耸鳃炙描儒魂翼逼印爱孕钠甲庞失遏绰衰红潘兄蒜腕搂庐提霉钩源善赠从破市逮旦略嚼蓄耸赐逞咎筐葱触懂膨炉纯耕仗败根睁开懦皇易帆邦扣药钥八肄肆巩袍匿顾猿矗凝要棒症脚瓶泅挑瘴卞坎之苑蔡艺猿酿气脉笼酸梆拼辟傲纳赌瓤般疯行甸媚戌疥溃抱便东氢柑卵蓖爆父蚤提侗鸥境炕憾瘴咯仅饿迪琶槽汀解末肄剂泽恩文践范钦雏暇楚纱惦戴穆裔伟竞顶诽头剁汾额北彰源绑矮斧畏榔能罚揖浚侠起氧庇杉恿列卧段亥学绦谚褂镰咒熙亲莎爆赤锰睛帧臆遗猜蜂圈哀氏聪奖埔粘浴廉职歉蛾隙孰赫嗜恬肿蝶伦掐幢檬赤万征竣的苑簧丫搁漠效咕彝似蓉迭宦二睬孺扁套琐耍凸瘟世伞燎