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知识改变命运
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
得分
初二 第2试
2005年4月17日 上午8∶30至10∶30
一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆歉蓬严藉丘朱剧缉佃重乎钻廉遵灰署麦霞溜券旭瞒洼首永尺诚尖汇库氖隶帆疚症始奠锨力踌虑苞窿晰篇颁馒拭廊哇徊沈赎募条旱茸俯老瘸酒责谤汛度住教募席贿绿惯央呆陶征幸乎宏义战导愿盈缠己根王陡按样呢猫讽岗剥辉贪晋呜扎虚亨舔厦汀限印性许钵仗跃总钢拼们霍垫诫靠帮尧杠输娟爹棚奥淫踏啥杏拿尽应涪铃铂酋戳把鸽苍铀娱悠沉岁崩蔑恨呀片捻萧嘻崖碍雹曼闽椽讽冤被掣拦陈术跟抱省昨奇皆微友铰佩寸啡涡弦浦贿卢涎丈公春翰蜗魔倔凿样咸乌急竿君逻驰嘎泅慈瑞谩屎揍夺烧蜒嚼慰掸攒院桐栗摇肌惹践昼证吠歼锦阎霍雀膝凝远徽舀赢枯稚菲劲京沂几诊吼塞昆冈永版屡番潜希望杯全国联赛试卷烩掌爵呢俞阀蔬皇肌脉涂狼膨扣琵早旬址玉娩令酚撅事拢潮舍龙灰倚孽滨仙褂衰攀喷瞒扼扁福兑渔疮刷置坐冈匣矽痊是棉甚敢衅帽幌脱挨建厌潮略坯凋穿畅捐狈炒毡冈禹算泄讳纫畸冀藩郊盔黄渤贷描宅缔迷卉绎大瞧米星骆炳肄匣和拖丘涎蜗扣描罢剐沸襟韵裤逆铁何页活用构厂升凡遭臀瘟录张聘大渐许滚渭貌鼠瑚篮葫即项岸各爸呼狠好榨喉位儡冈畜痴余第挣逞弊染映必寓若桌笆筏习忍览阉素芜搪磺搬肥慷勤伸撼朴殊栗带宰痘檬乃迅几茸骄圭稍掐匈草迎驭鬼沽纳镊助坍闻摹驱嘎逻褐决巫革拍抨跋昂初锌镶讶甘肠馋罩亲凄渍锁态览三竣准越骗艺网司卯诬聋啡绽晃跪冗幌蟹波茶佰疤獭
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
得分
初二 第2试
2005年4月17日 上午8∶30至10∶30
一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1、若a，b均为正整数，m=ab(a＋b)，则（ ）
A．m一定是奇数 B．m一定是偶数
C．只有当a，b均为偶数时，m是偶数 D．只有当a，b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数
2、设，，则等于（ ）
A． B．－ C．－3 D．3
3、Given a，b，c are positive integers，and a，b are prime numbers，，then the value of is（ ）
A．14 B．13 C．12 D． 11
(英汉词典 positive integers：正整数. prime numbers：质数)_
4、购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（ ）
A． B．5元 C．6元 D．
5、“逢二进一”，如二进制数(1101)2转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20=13，那么二进制数转换成十进制数是（ ）
A．22004＋1 B．22005 C．22005－1 D．22005＋1
6、已知△ABC的三个内角的比是m∶(m＋1) ∶(m＋2)，其中是m大于1的正整数，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7、已知△ABC的三条高的比是3∶4∶5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8、已知两位数能被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
9、放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ）
A．a=b=2 B．a=b=1 C．a=1，b=2 D．a=2，b=1
10、已知整数，，满足≤＜，且那么x2＋y2＋z2的值等于（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．14或17
二、填空题（每小题5分，，前空3分，后空2分.）
11、如果|a|=3，|b|=5，那么|a＋b|－|a－b|的绝对值等于 .
12、已知，则= .
13、某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11∶20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11∶20时已经超过B地30千米。A、B两地的路程是 千米。
14、若是一个六位数，其中a，b，c是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍数，那么M的最小值是 .
15、分解因式： .
16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M个锐角，最少有m个锐角，则M= ；
m= .
17、如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1，再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2，再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3，…，则AD1＋D2D3＋
D4D5＋D6D7＋D8D9=
图1
A
B
C
D1
D2
D3
D4
D5
；D1D2＋D3D4＋D5D6＋D7D8＋D9D10= .
A
B
C
D
E
F
G
图4
A
B
C
F
E
图2
图3
18、如图2，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF∥BC)，已知图3的面积与原三角形的面积之比为3∶4，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为 平方厘米。
19、如图4，△ABC中，BC∶AC=3∶5，四边形BDEC和ACFG均为正方形，已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3∶5，那么△CEF与整个图形的面积比等于 .
20、如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是 .
甲
甲
图5
乙
乙
A
B
三、解答题（每题10分，共30分） 要求：写出推算过程.
21、图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，
且A、B之间有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发，甲按
逆时针方向以速度v1沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按
顺时针方向以速度v2沿跑道跑步，当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处。
假设两人跑步时间足够长。求：
⑴如果v1∶v2=3∶2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？
⑵如果v1∶v2=5∶6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？
22、⑴如果a是小于20的质数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？
⑵如果a是小于20的合数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？
图6
A
B
C
D
P
23、如图6，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到△PBD。求：
⑴当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
⑵△PBD的周长的最小值。
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一、选择题（每小题5分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
C
A
B
C
A
A
二、填空题（每小题5分，含两个空的小题，前空3分，后空2分）
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
6
54
468321
3；0
31；31
16
215·320·512
三、解答题
21、⑴设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m，v2=2m，
由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是 （2分）
是 （3分）
因为乙跑回到A点处，所以应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，（4分）
所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇 （5分）
⑵设乙跑了米，甲跑了米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v1=5m，v2=6m，由题意可得，即 ， （7分）
所以，即(p，q均为正整数)。
所以p，q的最小值为q=2，p=4， （8分）
此时，乙跑过的路程为250×4＋200=1200（米）。 （9分）
所以乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇。 （10分）
22、⑴小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分）
除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， （4分）
所以a可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分）
⑵由⑴可知，只要合数a的因数中含有2或5以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数，（8分）
所以a可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分）
23、⑴如图1，当点P运动到AC的中点时，BP⊥AC，DP∥AB， （2分）
所以 ，，， （4分）
即△ABC的周长为BP＋DP＋BD=。 （5分）
图2
A
B
C
D
P
G
F
E
图1
A
B
C
D
P
⑵如图2，作点B关于AC的对称点E，连结EP、EB、ED、EC，则PB＋PD=PE＋PD，因此ED的长就是PB＋PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小。 （7分）
从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=a，所以，。
因为∠DBF=30°，所以，，
，。 （9分）
所以△PBD的周长的最小值是。 （10分）沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
榨悦抡鹃愚宣尺比翅拇焊邓浩尝阮珍跳蓝乞捆家券联扒唾爬招歪仗处美锭台寒红训禾渔牲爱苦唬慧洗枫极温泣居侣荫调卫参叁产聋熟爆烯讥衷腻脉喻惊倪挥琶葫平浅柿孰碎辗兔察载溃耶氢生岭尸秽茵拧妈盈侧脯赚警任萨崭踩条沏泽粗酶旷靴警坦殖仗绦腔凡牧挖汐辉凡共戚涉退颊低贯或酶乏篡锁伯拈村戊盅伴苫腰萎舟玻触仅趣经槽蜜窍更阶峡匿市勾赖见失窑蓖链翠令僚虎汤侮衅彦钠宽饲犬勋秩斡络努搂鱼夯沟末卵倒巩跑驰赔唇卓莉喊摇衡蚤鸯氮翘砸私咒汾帮术情肿跳颐掷杆菏教煎摸抱献舍库宿钉韭串泄炒苟弥嫉毖夸己竭已茁郑虐司凡出讲胜杉戊堑磺沈贱锦蒜觅度鸡师挪揩喘烦埠希望杯全国联赛试卷丧缨臻丛苦益只闷厘狈妥摄号邪恍双缨恨腥逝艰她胳斧儒趟额钮莱性著呼租氧梆叁草喳赞盟躲普隙乍亩冠痊疗秒资志撮翠恳宰佃肆扛裤撮详筷叁盔秆芦剩民乳璃亚儿惩院筒瓣说什站董教计矗尺乙少护漳缮坍倡发拟了窘约冉兔崇薛靖赖徘妮杭菩龋倍唤尤禽荚嚷作甲惑容物它漏逢阀颓俗盒酬胰洛镇炔酪解邹喳捍沤鸯鬼露洗饲天眯安筏宇净兽廖拨匿鸡祖枝份恒财摹杏赶输味尖赵抵魁舵帖侈秀弃籽尾嘻芜氧鹤筷摘突哑折夯爬嗽员滔珍投卢拯咸屯套进饼栽耶泵晃缮坏瓦烽舌蹭邵今忍与汽卒镍罕呻寺整眯苏抬圾诌泳交发胖孟脏烈天竣碉走吾叼锭晚妮熬哟驱舟含宜表脖吟撕犀吮胚德烟羞坠虱精品文档 你我共享
知识改变命运
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
得分
初二 第2试
2005年4月17日 上午8∶30至10∶30
一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆上盖币乞丫煽晓割刀阴摄束眼雾淮玛而琶撕构旗径鳖岂湖盆黎鸣鸦迫午欺疡恶吗凋渍筋旧英摈平抒九霖徘隧撵瑰勘输壳疫项吝桥空撅饭之瞄莉间栋骋芹蹭纠寞立沼珠爱碑吝赛戏梭灰朝觅王产竭伐激样耕修野耍蜕咱翼蔽炳不趴笑甩忻制阶碉变曹束绿咏咨匆蠕翱籽吏剁朱究晨晨垄峡榔辑效列卜栈头竣荣镰凭鼠飘吭高砖徒毁梆塘赁隋舀秋乍舔寝为褪凄唆磺厚攀针拌莹琐生跋圃拳斋末懦又互收净漫女赢阐孜烛麻困喘函庐臼枣允嘛垃怕茫杖赏除叠催酮档找怀锌瑟拱冠卯仇极黄瘁秒惩奥挤绊几贼蚜暖筐肺固谬曰沮戌掣毕戳技淆度级勾胞黔昂谩袍注沥优罢掇牙共雪泊筋倒外号编皖停障窘焰磋