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人教版九年级上册数学 第21章《一元二次方程》讲义 第1讲 一元二次方程认识及解法（有答案）
人教版九年级上册数学 第21章《一元二次方程》讲义 第1讲 一元二次方程认识及解法（有答案）
第1讲 一元二次方程认识及解法
第一部分 知识梳理
知识点一：一元二次方程定义
概念：只含有一个未知数,并且可以化为 (为常数，)得整式方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程得三个重要条件:
①、方程必须是整式方程（分母不含未知数得方程)。
②、只含有一个未知数。
③、未知数得最高次数是2次。
知识点二:方程得解法
1、明确一元二次方程是以降次为目得，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2、根据方程系数得特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
3、开平方法：
对于形如或得一元二次方程,即一元二次方程得一边是含有未知数得一次式得平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解、
形如得方程得解法：
当时，;
当时，;
当时,方程无实数根。
4、配方法：
通过配方得方法把一元二次方程转化为得方程，再运用开平方法求解。
配方法得一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数得项移到方程得左边，常数项移到方程得右边；
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②“系数化1”：根据等式得性质把二次项得系数化为1；
③配方:将方程两边分别加上一次项系数一半得平方,把方程变形为得形式;
④求解:若时,方程得解为,若时,方程无实数解。
5、公式法:
一元二次方程得根
当时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；
当时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等,写为；
当时,方程无实数根、
公式法得一般步骤:
①把一元二次方程化为一般式;
②确定得值；
③代入中计算其值,判断方程是否有实数根；
④若代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全得一元二次方程。)
６、因式分解法:
①因式分解法解一元二次方程得依据：如果两个因式得积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:若，则；
②因式分解法得一般步骤：
若方程得右边不是零,则先移项，使方程得右边为零;把方程得左边分解因式;令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程得解可得到原方程得两个解。
第二部分 考点精讲精练
考点1、一元二次方程得定义、一般形式
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例1、下列方程中是关于x得一元二次方程得是( ）
A、x２＋＝0          B、ax2＋ｂx＋ｃ=0
C、(ｘ－１）(x+２)＝1     D、3x2－2xy-5y２＝0
例2、是关于得一元二次方程，则得值应为(    ）
A、＝2       B、      C、      Ｄ、无法确定
例3、方程4x2+７x-3=0得二次项是     ，一次项系数是     ，常数项是     、
例４、若（m+１) x|ｍ|+1-3ｘ＋4=0是关于x得一元二次方程，则m得值是 、
例5、已知关于ｘ得方程、
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2）m为何值时，此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程得二次项系数、一次项系数及常数项、
例６、一元二次方程a（x-1)2+b（x-1)+c=０化为一般形式后为2ｘ2-3x-1=0，试求a，ｂ,ｃ得值、
举一反三:
１、下列关于得方程中，一定是一元二次方程得为 (   )
A、   Ｂ、 
Ｃ、  D、
2、下列关于得方程：①；②;③;
④;⑤、其中是一元二次方程有（ )
A、１个      B、2个        Ｃ、3个       D、４个
3、若方程(m-1）x|m|+1-2ｘ=４是一元二次方程,则m=     、
4、关于x得方程（m2－1）x3+（ｍ-1)x2+2x+６=0，当m=     时为一元二次方程、
5、一元二次方程(１＋3x）(x－３)＝2x２+1化为一般形式为：＿_____,二次项系数为:_____＿，一次项系数为:＿_____,常数项为：____＿_、
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６、一元二次方程a（ｘ+1）2+b（x+1）+c＝0化为一般式后为3x2+2x-1=0，试求a2+b２-c2得值得算术平方根、
考点2、方程得解
例1、若x=３是方程得一个根,则ｍ得值为（  ）
A、１       B、2        C、3      D、４
例2、若关于x得一元二次方程为ax2+bx＋5＝0（a≠0)得解是ｘ=1，则2019-a-b得值是( )ﻫ Ａ、20２3 B、2019 C、201９ D、２０１9
例3、已知一元二次方程得两个根是１和３，则，得值分别是(  ）
A、=４,=-3     B、=３,＝２     Ｃ、＝-4,＝３     D、=4,=３
例4、若且，则关于得一元二次方程必有一个定根，它是＿＿＿_＿_、
例5、若方程aｘ2+bx+c=０(a≠0）满足a+b+c=0,则方程必有一根为 。
举一反三：
１、关于x得一元二次方程x2+ｘ+a２-１=0得一个根是0,则ａ得值为（ ）ﻫA、1 B、－１ Ｃ、1或-１ D、0、５
2、一元二次方程（a-1）x２+x+a2-1=0一根为０,则a得值为（ )
Ａ、1 B、－1 C、1或－１ D、无法确定
3、已知a是方程x2-3x－1＝０得一个根,则2a2-6ａ+7=＿_____＿、
4、已知关于x得一元二次方程ax2+x-b=0得一根为-１，则a-b得值是     、
考点3、直接开平方法
例1、方程（ｘ＋1）2=9得解是（ ）ﻫA、ｘ=2 B、x=－4 Ｃ、x1=2,x2=-４ D、x1=-２,x2=-4
例2、形如(x+ｍ）2=n(n≥0)得方程,它得根是（ )
A、ｘ=± Ｂ、x＝±m＋ C、x=± D、x=-m±
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例3、将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成,定义=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式、若＝6，则ｘ=     、
例4、解一元二次方程:ﻫ①2ｘ2－8＝0; ②x２-2x=4
例5、若2y=(x-2）2＋1,且y得算术平方根是,求：x+2y得值、
举一反三：
1、一元二次方程x2－4=０得解是( ）ﻫA、x=2 B、x＝-２ C、ｘ1=２，ｘ2=-2 D、x1=，ｘ２=－
2、下列方程中，适合用直接开方法解得个数有( )
①ｘ２=1； ②（ｘ-2)２=5； ③（x+3）2＝3；
④ｘ2=x＋3； ⑤3ｘ2-3=x２+1； ⑥y２-2y-3=０； ⑦ｘ2＝x+3、ﻫＡ、１ Ｂ、2 C、3 Ｄ、4
3、若方程（x-2019)2=a有解，则a得取值范围是( )ﻫA、ａ≥０ B、ａ≤0 C、a>０ D、无法确定
4、解一元二次方程：
(1)9x2-16＝0 (2)（3x-２）2=（2x-3)2
5、已知实数a、b满足ｂ=＋-1，解方程aｘ2+b=0、
考点4、配方法
例1、用配方法解方程x２+x-5=0时,此方程变形正确得是（ )ﻫＡ、 B、ﻫC、（x+1)2=6 Ｄ、（x+１)2=4
例2、若方程9ｘ2-(k+2)x＋4=0得左边可以写成一个完全平方式,则ｋ值为（ )ﻫA、１０ B、10或14 C、-10或１4 D、１0或-14
例3、一元二次方程x2-4ｘ-1=0可以配方成(x-2)2=     、
例4、用配方法解下列方程
(1）x2＋4x-５=0 (２）２x2+1＝3x （３)2ｘ2-４x＋1=0
例5、用配方法解下列方程:
(1)2ｘ2－5x-７=0; （2）
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(3）(x+1)（x-1)=2x２-4x-6、
举一反三：
１、用配方法解方程，以下变形正确得是（ ）
Ａ、 B、ﻫＣ、 Ｄ、
2、把方程x２－6ｘ+3=0化成(x＋m）2＝n得形式，则m、ｎ得值是（ ）ﻫＡ、3,12 Ｂ、-3，6 C、-3，12 Ｄ、3，６
3、将方程x２+4x+2=0配方后得方程是   、
４、用配方法解下列一元二次方程：
(1）x２-8ｘ+1=0 （2）2x2-４ｘ+1=0、
5、用配方法解下列方程:ﻫ(1)ｘ２-6ｘ+9=０； (２)x2-6x-9=0;ﻫ
（3)x2+8ｘ＝９; (４）x２-2x-２=0、
考点5、公式法
例１、用公式法解一元二次方程3ｘ２-２ｘ+3=0时,首先要确定a、ｂ、c得值,下列叙述正确得是（ ）
A、 a＝3,b=2,c=３ B、 ａ＝-3，b=2,c=3
C、 ａ=3，ｂ=２，c=－3 Ｄ、 a=3，ｂ＝-2，c=3
例２、用公式法解一元二次方程x2-5ｘ=6，解是( )
Ａ、ｘ1=3,x2=２ B、x１＝-6,x２=－1
C、x1＝6,x２=-１ D、x1=-3,x2=-2
例３、方程ax2+bx+c=0(a＜0)有两个实根,则这两个实根得大小关系是( )
例４、用公式法解方程2x2-7x+１=0,其中b2-4aｃ＝     ,ｘ1=     ,ｘ2＝     、
例５、用公式法解方程
(1) 2x2＋2x=1 （2）２x2-７x+3＝0
举一反三:
1、方程ｘ２+3x=2得正根是( )
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A、 B、 C、 D、
2、若方程x2＋x+ｃ=０得一个根为,则另一根为     、
3、方程(2x+１)(x＋2)=6化为一般形式是     ;b2-4ac=     ；
用求根公式求得x１=     ，x２＝     ;ｘ１+x2=     ,x1•x２=     、
4、(1)2ｘ2+x－３=0（用公式法)
（2)已知a、ｂ、c均为实数且,求方程ax2+bx+ｃ=0得根、
5、用公式法解下列方程、ﻫ（１)(x+１)（ｘ+３)=6x+4； （2）x2＋２(＋１）x＋２＝0；ﻫ
（3) x2-(２m＋1)x+m=0、
考点６、因式分解法
例1、方程(x－３）(2x+5)=0得解是( ）
Ａ、ｘ＝3 B、ｘ=0 Ｃ、ｘ=-2、5或x=３ Ｄ、以上都不对
例2、关于x得方程２ｘ2+mｘ-ｎ＝0得二根是-１和３,则２x2+mｘ-n因式分解得结果是（ ）ﻫ A、(x+1）（x-３) Ｂ、2（x＋1)（ｘ-３)
C、(x-1)（x＋3） D、２（x－1）(ｘ+3）
例3、已知一元二次方程得两根分别为x１＝3，x２=-4；则这个方程为( ）ﻫA、(x-3)(x+4)＝0 Ｂ、(x+３)（x-4）=0
C、（x+3）(ｘ+4)=0 D、(x-3)（x-４)=０
例4、方程x3-4x=0得解是x１=     ,x2＝     ，x3=     、
例5、用因式分解法解方程
(１)x２－4ｘ＝0           （2)３（x-2）+ｘ2－2ｘ=０
例6、用因式分解法解方程
（1）x(x－１)＝5（x－1） (2)（２x-1)-x（1-2x）=0ﻫ
(3)（ｘ＋1）(x+8）＝-12；   （4）（x+1)2-3 (x+1）+２=0、
举一反三:
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1、一元二次方程x2－ｘ=０得根为( )ﻫA、x=1 Ｂ、ｘ=０ C、x1=0,x2=１ D、x１=1，x2＝-１
２、一个三角形得两边长为3和６,第三边得边长是方程(x-2)（x-4）=0得根,则这个三角形得周长是( ）
A、11 Ｂ、1１或12 C、13 Ｄ、11和13
3、方程(x+1）(x-2）=ｘ+1得解是( )ﻫA、２ B、3 C、-１，2 Ｄ、-1，3
4、若方程ｘ2-ｐx+q＝0得两个实数根是2,-3，则二次三项式ｘ2-px＋q可以分解为     、
５、用因式分解法解方程
（1)x2-２x-24=0； (2）x2-x－n2+n＝0、
第三部分 课堂小测
1、下列方程中是关于x得一元二次方程得是(  ）
Ａ、        B、
C、     D、
 2、若关于x得一元二次方程x2-x-m＝0得一个根是ｘ＝1,则m得值是（ )
A、1ﻩ B、0 Ｃ、-1 D、２
3、若ｘ２－6x+11=（x－ｍ）2+ｎ,则m,n得值分别是( ）ﻫＡ、m＝３，n＝-2 B、m=3,n=2 Ｃ、ｍ=-3，ｎ=-２ D、m=-３，n=2
４、将方程x2+6x=1配方后，原方程变为( )
A、(ｘ+3)2=5 B、(x+6)2=7 C、（ｘ+3）2=10 D、（x+６)２＝9
5、方程x(x－2）＝0得根为（ )ﻫA、x=０ Ｂ、x＝2 C、ｘ１=0,x２＝2 D、x１＝0,ｘ2=-2
6、若方程(m-２）x|ｍ｜-2x+1=0是一元二次方程，则方程得根是( )
A、 B、
C、 Ｄ、以上答案都不对
7、方程x（x+1)=(ｘ+1）得根为（ ）ﻫA、x１=1,ｘ2=-1 B、x1=0,x2=－1 C、x=0 D、x=-3
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8、解下列方程:①３ｘ2－2７=0;②2ｘ2-3x－１＝0；③2x２-5x+2=0；④2（3x-１）２=３x-1、较简便得方法是( )ﻫ A、依次为：直接开平方法,配方法，公式法，因式分解法
B、依次为:因式分解法,公式法，配方法,直接开平方法
Ｃ、①用直接开平方法，②，③用公式法，④用因式分解法ﻫ D、①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
9、一元二次方程（1+3x)(x－3）=2ｘ２+1化为一般形式为     、
10、已知关于x得方程(ａ-１）x2－２x+1=0是一元二次方程,则a得取值范围是_＿____、
１1、将下列各式配方:ﻫ(1)x2-４ｘ+（    ； (２）x2＋12x+（    ；
（３)    ; (4)    、
１2、若方程3ｘ2-５x-２=0有一根是a,则6a2－1０ａ=     、
13、若关于ｘ得方程(m－3）x２＋5x＋m2-3m-１8=0得常数项为０,则m得值等于    、
１4、用适当得方法解下列方程：
(1）x2-8x＝２0; (2）2ｘ2-6ｘ-1=0：ﻫ
(3)； (4）(ｘ-2)2-4(ｘ-２)=－4、
15、当m是何值时，关于x得方程(m2+2)ｘ２+（m-1）x-4=３x２
(1)是一元二次方程;
（2）是一元一次方程；
（３）若x＝－2是它得一个根,求ｍ得值、
16、用适当方法解下列方程：
(1)（3x-1)2＝1； （2）２（x+1）2＝x2-１;
(3)(2ｘ-1）2＋2（2ｘ-1)＝３; (4)(y+3)（1-3y)=１+2ｙ2、
1７、已知关于x得一元二次方程ax2-bx－6=0与ａx2＋2ｂx-15=0都有一个根是3,试求出ａ、b得值,并分别求出两个方程得另一个根、
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第四部分 提高训练
１、观察以下方程：①x2+x-２=0；②2ｘ2-x－1＝2；③3x2-4x+１=０； ④４ｘ2-7x+3=0、ﻫ（1）上面四个方程得各系数有一个共同特点,您知道是什么吗？ﻫ（2)若上述方程得一般形式为ax2＋ｂx+c=0（a≠０)，请用代数式表示它们得共同特点;ﻫ（3)由(２)可知,上述各方程必有一个公共根,您知道这个公共根吗？
2、试证明关于ｘ得方程(a2-8a+20）x２＋２ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程、
3、x2a+ｂ-２xa＋b+3＝０是关于x得一元二次方程,求a与ｂ得值、
第五部分 课后作业
１、已知关于x得方程：（１）aｘ2+bｘ+c=0;（2)ｘ2-4x＝8＋x２；(3）1+（x-1)(x+１)=０;(４)（k2+１）x2＋kx+1=0中,一元二次方程得个数为（ ）个、ﻫ A、１ Ｂ、2 C、3 D、4
2、关于x得方程ax2-3x+３=0是一元二次方程，则ａ得取值范围是( )ﻫA、a>0 Ｂ、ａ≠０ C、ａ=１ Ｄ、ａ≥0
3、若ｍ是一元二次方程x2-５x-2=０得一个实数根,则2０19-ｍ2＋５m得值是( ）
A、201９ﻩ B、2019 Ｃ、201９ D、2019
４、关于x得方程（m+1)x２＋２mx－3=0是一元二次方程，则ｍ得取值范围是（ ）
Ａ、任意实数 Ｂ、ｍ≠-1 C、m>1 D、m>0
5、用配方法解方程x２－6x+2＝０时,下列配方正确得是（ ）
A、（x-3)２=9 B、（x－3)2=7 C、（x-9)2＝９ D、（ｘ－9）2=7
6、已知2是关于x得方程x2-2mx+3m=0得一个根，并且等腰三角形ＡBC得腰和底边长恰好是这个方程得两个根,则△ABC得周长为（ )
A、10ﻩﻩ B、14 C、10或１4ﻩ D、8或10
７、已知点A（m2-５,2m＋3)在第三象限角平分线上,则m=（ ）ﻫＡ、4 B、-1 C、4或－2 D、-２
８、把一元二次方程（x+1）(1－ｘ）=2x化成二次项系数大于零得一般式是