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备战2020年中考数学一轮专项复习——圆的综合问题
1.（2019绵阳中考 第23题 ）如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD=BE=2，求BF的长．
2.（2019黔东南州中考 第22题12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交与点A、B，
（1）若∠A=30゜，求证：PA=3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有成立，请你写出推理过程.
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（2019贵港中考 第23题）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA=2，PC=4，求AE的长．
4．（2019湖北十堰中考 第22题 8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．
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5．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；
(2)如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．
6.(2019鄂州中考 第22题 10分)如图，PA是⊙O的切线，切点为A, AC是⊙O的直径，连接OP交⊙⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB= , BC =1，求PO的长.
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如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，求∠DOR的度数。
8．（2019遂宁中考 第24题 10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）求证：CF是⊙O的切线．
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9．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．
10．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
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参考答案
1.（2019绵阳中考 第23题 ）如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD=BE=2，求BF的长．
【解析】证明：（1）∵C是BC的中点，∴CD=BC，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴BC=BF，∴CD=BF，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵∠F=∠CDG∠FGB=∠DGCBF=CD，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵CD=BC，∴∠HAC=∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEC=90°，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴BCAB=BEBC，
∴BC2=AB•BE=6×2=12，∴BF=BC=23．
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2.（2019黔东南州中考 第22题12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交与点A、B，
（1）若∠A=30゜，求证：PA=3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有成立，请你写出推理过程.
【解析】（1）证明：PC是⊙O的切线，
所以，∠PCB＝∠A＝30°，
由AB是圆O的直径，得：∠ABC＝60°，
所以，∠BCP＝∠BPC＝30°，
所以，PB＝BC，
又BC＝，
所以，PB＝OB＝OA，即PA＝3PB
（2）PC是⊙O的切线，
所以，∠PCB＝∠A，
△ACP中，∠A+∠P+∠ACB+∠PCB＝180°，
所以，2∠PCB＝180°－90°－∠P，
所以，
3.（2019贵港中考 第23题）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：
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AE是半圆O的切线；
（2）若PA=2，PC=4，求AE的长．
【解析】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90°，
∵OE⊥OA，∴∠AOE=90°，∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°，
∴∠BAO=∠COE，∴△ABO∽△OCE，∴ABOC=AOOE，∵OB=OC，∴ABOB=AOOE，
∵∠ABO=∠AOE=90°，∴△ABO∽△AOE，∴∠BAO=∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，∴∠ABO=∠AFO=90°，
在△ABO与△AFO中，∠BAO=∠FAO∠ABO=∠AFOAO=AO，
∴△ABO≌△AFO（AAS），∴OF=OB，∴AE是半圆O的切线；
（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，
∴AF2=AP•AC，∴AF=2(2+4)=23，∴AB=AF=23，∵AC=6，
∴BC=AC2−AB2=26，∴AO=AB2+OB2=3，∵△ABO∽△AOE，
∴AOAE=ABAO，∴3AE=233，∴AE=332．
4．（2019湖北十堰中考 第22题 8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．
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【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，∴＝，即＝＝∴DE＝4，x＝，
∴AC＝3x＝14，∴⊙O的半径为7．
5．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；
(2)如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．
：（1）连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.（2分）∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°.在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；（5分）
（2）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.（6分）在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠
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EAO＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°.（8分）∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.（10分）
6.(2019鄂州中考 第22题 10分)如图，PA是⊙O的切线，切点为A, AC是⊙O的直径，连接OP交⊙⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB= , BC =1，求PO的长.
【解析】（1）证明：连结OB
∵AC为⊙O的直径
∴∠ABC＝90o
又∵AB⊥PO
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC
而OB＝OC ∴∠OBC＝∠C ∴∠AOP＝∠POB
在△AOP和△BOP中
OA＝OB∠AOP＝∠POBPO＝PO
∴△AOP≌△BOP ∴∠OBP＝∠OAP