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【知识点总结】
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，
又f(0)＜0，f（2）＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．
故选：A.
例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
【答案】A
【详解】
因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
所以b＝－2a，
所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．
令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．
故选：A
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
【答案】D
【详解】
函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0.
故选：D.
例4．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点一定位于下列哪个区间内（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：解不等式得或，
所以函数的定义域为，
因为，
，，，，
所以，
所以根据零点的存在性定理得在区间上必有零点，
所以函数的零点一定位于区间内.
故选：C
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
【答案】D
【详解】
当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞.
故选：D.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数仅有一个零点，
所以与图像只有一个交点.
对于，，得或.
所以当时单调递增；当时单调递减；当时单调递增.
所以当时函数有极大值，当时函数有极小值.
作与的图像如下图所示.
由图可知，当与图像只有一个交点时，或，即或.
故选:D
例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数的部分函数值如下表所示：
x
1
那么函数的一个零点近似值（）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
根据给的数据知道方程的根在区间内，
故选：B
例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度（单位：）与时间（单位：）的关系式为，其中为时的药物浓度，，测得不同时间药物浓度如下：
则该药物的的值大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题得，，
两式相除得，所以.
故选：B.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【答案】C
【分析】
转化条件为，解方程即可得解.
【详解】
函数经过点，，∴，
∴，
令，则
所以函数的零点是0和．
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的零点是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
【答案】C
【分析】
根据函数零点的定义，令，即可求解.
【详解】
由题意，函数，令，即，解得，
即函数的零点为.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
【答案】D
【分析】
函数的零点，即令分段求解即可.
【详解】
函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点之和为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】
根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.
【详解】
函数
当时，，设其零点为，则满足，解得；
当时，，设其零点为，则满足，解得；
所以零点之和为
故选:A.
【点睛】
本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
在同一坐标系中，作出指数函数，根据函数存在零点，利用数形结合法求解.
【详解】
如图所示：
指数函数，没有零点，
有唯一的零点，
所以若函数存在零点，
须有零点，即，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则实数根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由解出或，根据解析式分别求出当和时的值，即可判断实数根的个数.
【详解】
做出图像如下：