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考点06 函数的应用
知识点1:函数的零点问题
（x）满足f（x+π）＝f（﹣x），当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】D
【分析】函数g（x）＝f（x）﹣在区间上所有零点就是函数y＝f（x）与h（x）＝的交点的横坐标，画出函数f（x），h（x）的图象根据图象可得结果．
【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣在区间上所有零点
就是函数y＝f（x）与h（x）＝的交点的横坐标．
由f（x+π）＝f（﹣x），f（x）为R上的奇函数，得
f（x）的对称轴为且f（x+π）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x+2π）＝﹣f（x+π）＝f（x），
∴f（x）的周期T＝，
画出函数f（x），h（x）的图象，如下所示，
根据图象可得，函数f（x），h（x）的图象共有4个交点，它们关于点（π，0）对称
∴函数g（x）＝（x﹣π）f（x）﹣1在区间上所有零点之和为2π+2π＝4π
故选：D．
【知识点】函数的零点
练习：
（x）＝，若f（a）＝2，则a＝（ ）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．1或﹣1
【答案】C
【分析】通过讨论a的符号，代入函数的解析式，得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：当a＞0时，f（a）＝2a﹣2＝2，解得a＝2；
当a≤0时，f（a）＝a2+1＝2，解得a＝﹣1；
综上，a＝2或a＝﹣1；
故选：C．
【知识点】函数的零点
（x）＝，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2 B．a≤0 C．a≥2或a≤0 D．a＞2或a≤0
【答案】D
【分析】由题意可得，在定义域内，函数f（x）不是单调的，考虑x≥1时，讨论函数的单调性，即可求得结论．
【解答】解：依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论：
①当x≥1时，若f（x）＝x2 ﹣ax 不是单调的，它的对称轴为x＝，则有 ＞1，∴a＞2．
②当x≥1时，若f（x）＝x2 ﹣ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时≤1，可得a≤2．
当x＜1时，由题意可得，f（x）＝ax+1﹣2a应该不单调递增，故有a≤0．
综合得：a的取值范围是（2，+∞）∪（﹣∞，0]．
故选：D．
【知识点】函数的零点
（x）＝则满足f（a）＝1的a的值为（ ）
A．1，± B．1，﹣ C．﹣ D．1，
【答案】B
【分析】结合已知函数解析式，先对a分类讨论，然后结合f（a）的表达式代入f（a），解方程可求a．
【解答】解：当﹣1＜a＜0时，f（a）＝sinπa2＝1，
则a＝﹣，a＝（舍），
当a≥0时，f（a）＝2a﹣1＝1，
解可得a＝1，
综上可得a＝1或a＝﹣．
故选：B．
【知识点】函数的零点
．
【答案】1
【分析】令f（x）＝0，求出方程的根即函数的零点即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域是（0，3）∪（3，+∞），
显然x+1＞0，x﹣3≠0，
令f（x）＝0，即＝0，即lnx＝0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【知识点】函数的零点
＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝ ．
【分析】通过集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出a的值即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，
当a＝0时，ax2﹣3x+2＝0只有一个解x＝，
当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△＝9﹣8a＝0即a＝
所以实数a＝0或
故答案为：0或．
【知识点】函数的零点
知识点2:函数的最值应用
，若数列{an}满足an＝f（n），且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2] D．（2，3）
【答案】B
【分析】根据an＝f（n），且{an}是单调递增数列，可得函数f（x）在[1，+∞）是递增函数；即可求解
【解答】解：{an}是单调递增数列，∴f（1）＜f（2），
可得3a﹣2＜2a+2
即a＜4；
当x≥2时，y＝（a﹣1）x+4递增，可得a＞1；
综上可得：1＜a＜4；
故选：B．
【知识点】函数最值的应用
练习：
，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
【答案】D
【分析】根据题意列出总费用之和等于，然后利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】解：由题知一年总运费为；
∴一年的总运费与总存储费用之和为4x+≥，当且仅当即x＝45时，等号成立，
∴当x＝45时一年的总费用与总存储费用之和最小．
故选：D．
【知识点】函数最值的应用
，m，n满足f（m2﹣2n）+f（n2﹣2m）≥0，则|m+7n+4|的取值范围是（ ）
A．[2，12] B．[2，22]
C．[12，22] D．
【答案】B
【分析】根据条件判断函数的奇偶性，结合函数的奇偶性，将不等式进行转化，结合点到直线的距离进行转化求解即可．
【解答】解：由题意，，可得f（x）为奇函数，又f（x）是R上的减函数，
故f（m2﹣2n）+f（n2﹣2m）≥0
⇒f（m2﹣2n）≥﹣f（n2﹣2m）＝f（2m﹣n2）
⇒m2﹣2n≤2m﹣n2⇒（m﹣1）2+（n﹣1）2≤2，
所以满足条件的（m，n）表示的区域是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2的内部（含边界），
则点（m，n）到直线x+7y+4＝0的距离，
则（﹣）≤|m+7n+4x≤（+），
即12﹣10≤|m+7n+4x≤12+10，
即2≤|m+7n+4x≤22，
所以|m+7n+4|的取值范围是[2，22]，
故选：B．
【知识点】函数最值的应用
＝2x+y，其中x，y满足条件，则z的最大值为 ．
【答案】6
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最值即可．
【解答】解：作出可行域，如图，
作出直线y＝﹣2x，并平移，
当直线经过点A时z取最大值，解方程组，
得A（3，0），
此时最大值z＝2×3+0＝6，
故答案为：6．
【知识点】函数最值的应用、简单线性规划
：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y＝|（x+1）|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为 ．
【分析】由0≤|（x+1）|≤2解得﹣≤x≤3，从而求最值．
【解答】解：∵0≤|（x+1）|≤2，
∴﹣2≤（x+1）≤2，
∴≤x+1≤4，
∴﹣≤x≤3，
∴区间[a，b]的长度的最大值为
3+＝；
故答案为：．
【知识点】函数最值的应用
知识点3:分段函数的应用
（x）＝，若存在x0∈（0，+∞），使得f（x）≥f（x0）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2﹣2，+∞） B．（2﹣2，+∞） C．（0，2﹣2） D．（0，2﹣2]
【答案】A
【分析】由存在x0∈（0，+∞），使得f（x）≥f（x0）恒成立，可得x0是函数f（x）的最小值点，然后对a分类分析即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵存在x0∈（0，+∞），使得f（x）≥f（x0）恒成立，
∴x0是函数f（x）的最小值点，
若a＝0，当x≥0时，f（x）≥1；当x＜0时，f（x）＝0，此时不存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝0，不合题意；
若a＜0，f（x）的对称轴为x＝＜0，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝1；
f（x）在（﹣∞，0）上，f（x）＜a＜0，则f（x）没有最小值，不符合题意；
若a＞0，f（x）的对称轴为x＝＞0，函数f（x）在[0，+∞）上；
函数f（x）在（﹣∞，0）上，f（x）＞f（0）＝a，要使存在x0∈（0，+∞），使得f（x）≥f（x0）恒成立，
则，即a2+4a﹣4≥0，解得a或a，
又a＞0，∴，即实数a的取值范围是[2﹣2，+∞）．
故选：A．
【知识点】分段函数的应用
练习：
（x）＝若f（f（m））≥5，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数的解析式初步判断f（m）＜0，然后代入函数解析式进一步求出f（m）的范围，再根据函数的解析式即可求解．
【解答】解：由已知函数f（x）的解析式可知，当x≥0时，f（x）＝﹣x2≤0，
所以要使f（f（m））≥5，只有f（m）＜0，
即，解得f（m）≤﹣5，
当m＜0时，m2+4m≤﹣5，解得不等式无解，
当m≥0时，﹣m2≤﹣5，解得m，所以m，
综上，m，
故选：A．
【知识点】分段函数的应用
（x）＝，若存在x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），使f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则f（x1+x2+x3）的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．[0，1] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）
【答案】B
【分析】画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．
【解答】解：作出f（x）的大致图象如图：
由图可知x1+x2＝﹣2，x3＞0，则x1+x2+x3＞﹣2．所以f（x1+x2+x3）∈[0，1]，
故选：B．
【知识点】分段函数的应用
（x）＝，若f（x）在区间（a，a+3）上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为 ．
【答案】（-2，-1]
【分析】画出函数f（x）的图象，若f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，结合图象得到不等式求解即可．
【解答】解：f（x）的图象如图所示
∵f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，
∴，解得﹣2＜a≤﹣1，
故a的取值范围为（﹣2，﹣1]．
故答案为：（﹣2，﹣1]．
【知识点】函数的最值及其几何意义、分段函数的应用
（x）＝，记A＝{x|f（x）＝0}，若A∩（﹣∞，2）≠∅，则实数a的取值范围为 ﹣∞ ．
【分析】利用分段函数的表达式将条件转化为x2＝|x+a|﹣2a在（﹣∞，2）上有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝＝x2﹣|x+a|+2a，
若A∩（﹣∞，2）≠∅，等价为f（x）＝x2﹣|x+a|+2a＝0即x2＝|x+a|﹣2a在（﹣∞，2）上有解，
即函数y＝x2与h（x）＝|x+a|﹣2a在（﹣∞，2）上有交点，
作出两个函数的图象如图，
则h（x）的图象关于x＝﹣a对称，且顶点坐标为B（﹣a，﹣2a），
则B点位于直线y＝2x上移动，作出直线y＝2x，
由图象知当对称轴x＝﹣a≥0即a≤0时，两个函数y＝x2与h（x）＝|x+a|﹣2a恒有交点，满足条件．
当﹣a＜0即a＞0时，
当x＞﹣a时，直线h（x）＝x+a﹣2a＝x﹣a与y＝x2相切时，此时两个函数还有交点，
此时x2＝x﹣a，即x2﹣x+a＝0，判别式△＝1﹣4a＝0得a＝，
当点B沿着y＝2x向下移动时，直线h（x）＝x+a﹣2a＝x﹣a与y＝x2相离，此时没有交点，
即此时△＝1﹣4a＜0得a＞，
综上要使两个函数在（﹣∞，2上有交点，则a≤
故答案为：（﹣∞，]
【知识点】分段函数的应用
知识点4:函数与方程的综合运用
（x）＝2m（x2+1）﹣，（m∈R），g（x）＝ex（其中e为自然数的底数，e＝…），若函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，则m的值不可能为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【分析】先将函数有一个交点转化成方程有一个解，然后进行替换变成一元二次函数，通过特殊值的代入判断是否成立，得到答案．
【解答】解：根据函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，
则2m（x2+1）﹣＝ex有一个实数根，
即2m（x2+1）ex﹣（m+2）（x2+1）2＝（ex）2，
即（ex）2﹣2m（x2+1）ex+（m+2）（x2+1）2＝0，
即只有一个实数根，
令，，
所以函数在R上单调递增，且t＞0恒成立，
t的图象大致如图所示：
所以只需关于t的方程t2﹣2mt+（m+2）＝0 ①有且只有一个正实根，
当m＝3时，方程有t＝5，或t＝1，不符合题意；
当m＝﹣3时，方程t2+6t﹣1＝0，t＝，只有t＝一个正实根，符合题意；
当m＝2时，方程t2+8t﹣2＝0，，只有t＝一个正实根，符合题意；
故选：B．
【知识点】函数与方程的综合运用
练习：
（x）＝的值域为[﹣4，4]，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C．[1，2] D．[1，+∞）
【答案】C
【分析】根据分段函数的表达式，先求出当﹣4≤x≤0时的值域，然后求函数的导数，研究当x＞0时，函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：当﹣4≤x≤0时，f（x）＝x2+4x＝（x+2）2﹣4∈[﹣4，0]，
当x＞0时，f（x）＝﹣2x3+6x，函数的导数f′（x）＝﹣6x2+6＝﹣6（x2﹣1），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数，
则当x＝1时，取得极大值，f（1）＝﹣2+6＝4，
当﹣2x3+6x＝﹣4，即x3﹣3x﹣2＝0，得x3﹣x﹣2（x+1）＝0