北师版数学八年级上册 1.2 一定是直角三角形吗 同步练习.pdf

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北师版数学八年级上册 一定是直角三角形吗 同步练习
一、单选题
1．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
1 1 1 3 4
A．3，4，5 B． ， ， C．5，13，12 D． ， ，1
3 4 5 5 5
2．（微信：10784702）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．a  2,b  3,c  4 B．a  5,b  6,c  8
C．a  5,b 12,c 13 D．a  7,b 15,c 12
3．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其
证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某自动感应门的正上方A 处装着一个感应器，离地面 AB  ，当人体进入感应器的感应范围
内时，感应门就会自动打开．一个身高 1 米的小学生CD正对门，缓慢走到离门 米的地方时，感应门自
动打开，则人的头顶离感应器的距离 AD 等于（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．如图，用 4 个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边是 6，
小正方形的边长是 2，则大正方形的面积是（ ）
1 : .
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A．121 B．144 C．196 D．100
6．（微信：10784702）如图有一个水池，水面 BE 的宽为 16 尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面 2
尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26 尺 B．24 尺 C．17 尺 D．15 尺
7．有一个边长为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形
围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶
茂”，请你算出“生长”了 2021 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．1
8．（微信：10784702）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本
八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺
木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部 8 尺处时绳
索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为 x 尺，可列方程为（ ）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2
C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）2
二、填空题
9．用 4 张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形 ABCD 的
2 : .
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面积为 10，AH＝3，则正方形 EFGH 的面积为____．
10．如图，在ABC 中，A 90 ，则三个半圆面积 S1，S2，S3的关系为___________．
11．（微信：10784702）如图，有两棵树，一棵树高 10 米，另一棵树高 4 米，两树相距 8 米，一只鸟从一
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行___________米.
12．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，如图，一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子
底端 3 尺处，折断处离地面的高度是___（其中的丈，尺是长度单位，1 丈＝10 尺）．
三、解答题
13．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10 米的 D 处有两只猴子，他们同时发现 C 处有一筐水果，一只
猴子从 D 处往上爬到树顶 A 处，又沿滑绳 AC 滑到 C 处，另一只猴子从 D 滑到 B，再由 B 跑到 C 处，已知
两只猴子所经路程都为 15 米，求树高 AB．
3 : .
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14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝15，D 是 AB 上一点，BD＝9，CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求 AC 的长．
15．济南的泉城广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．历下区某校七年级（1）班的
小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得 BD的长为 15 米（注： BD  CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 25 米；
③牵线放风筝的小明身高 米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）过点 D作 DH  BC ，垂足为 H ，求 BH 的长度。
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1．【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵32+42＝52，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
1 2 1 2 41 1 2
B、∵( ) ( )   ( ) ，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
5 4 400 3
C、∵52+122＝132，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
3 2 4 2 2
D、∵( ) ( ) 1 ，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
5 5
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2＝c2，那么这个三
角形就是直角三角形是解答此题的关键．
2．
【答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．
【详解】解：a2 b2  22 32 13  42  c2, 故 不符合题意；
A
a2 b2  52 62  61 82  c2, 故B 不符合题意；
a2 b2  52 122 169 132  c2, 故C符合题意；
a2 c2  72 122 193 152  b2, 故D 不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”
是解题的关键（微信：10784702）
3．
【答案】D
【分析】利用两个以 a 和 b 为直角边三角形面积+一个直角边为 c 的等腰直角三角形面积和=上底为 a,下第
为 b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断 A，利用以 a 与 b 为两直角边四个全等三角形面积+边长
为 c 的小正方形面积和=以 a+b 的和为边正方形面积推导勾股定理可判断 B，利用以 a 与 b 为两直角边四个
全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以 c 为边正方形面积推导勾股定理可判断 C，利用四个
小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断 D．
【详解】解：A、∵两个以 a 和 b 为直角边三角形面积+一个直角边为 c 的等腰直角三角形面积和=上底为 a,
下第为 b,高为（a+b）的梯形面积，
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1 1 2 1 1
∴ 2 ab+ 2 c + 2 ab＝ 2 （a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以 a 与 b 为两直角边四个全等三角形面积+边长为 c 的小正方形面积和=以 a+b 的和为边正方形面积，
1 2 2
∴4× 2 ab+c ＝（a+b） ，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以 a 与 b 为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以 c 为边正方形面积，
1 2 2
∴4× 2 ab+（b﹣a） ＝c ，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+ b2+ a2+ ab=（a+b）2，
∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．（微信：10784702）
【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是
解题关键．
4．
【答案】B
【分析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，构造 Rt△ADE，利用勾股定理求得 AD 的长度即可．
【详解】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
∵AB＝ 米，BE＝CD＝1 米，ED＝BC＝ 米，
∴AE＝AB−BE＝−1＝（米）．
在 Rt△ADE 中，由勾股定理得到：AD＝ AE2  DE2  （米）
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线
段 AD 的长度．
5．
【答案】D
【分析】观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边
6 : .
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的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长，从而得到了大正方形的边长，从而求得大正方形的面
积．
【详解】解：∵直角三角形较短的直角边长是 6，小正方形的边长是 2，
∴直角三角形的较长直角边＝6＋2＝8，
∴直角三角形斜边长＝ 62 82 10，
∴大正方形的边长是 10，
∴大正方形的面积是 10×10＝100．
故选：D．（微信：10784702）
【点睛】此题主要考查学生勾股定理的运用能力及观察图形的能力，掌握勾股定理是解题的关键．
6．
【答案】C
【分析】先设水池的深度为 x尺，则这根芦苇的长度为(x  2) 尺，根据勾股定理可得方程 x2 82 (x2)2 ，再
解即可．
【详解】解：设水池的深度为 x尺，由题意得：
x2 82 (x2)2 ，
解得： x 15，
所以 x217 ．
即：这个芦苇的高度是 17 尺．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决
实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的
思想的应用．
7．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据
规律解答即可．（微信：10784702）
【详解】解：由题意得，正方形 A 的面积为 1，
7 : .
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由勾股定理得，正方形 B 的面积+正方形 C 的面积＝1，
∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2，
同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3，
∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4，
……
∴“生长”了 2021 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2022．
故选：A．（微信：10784702）
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2．
8．
【答案】C
【分析】根据题意设绳索长为 x 尺，列出方程即可；
【详解】解：设绳索长为 x 尺，可列方程为 x2﹣82＝（x﹣3）2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据勾股定理列方程，准确分析列式是解题的关键．
二、填空题
9．【答案】4
【分析】根据正方形的面积，可得 AD2=10，再根据勾股定理求出 DH 的值，从而得四个直角三角形的面积
之和，进而即可求解．（微信：10784702）
【详解】解：∵正方形 ABCD 的面积为 10，AH＝3，
∴AD2=10，
∴在 RtADH 中，DH= AD2  AH2  109 1，
1 1 3
∴SADH  AH DH  31 ，
2 2 2
∵四个直角三角形全等，
3
∴正方形 EFGH 的面积=10-4 =4，
2
8 : .
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故答案是：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键．
10．
【答案】S1  S2  S3
【分析】分别用 AB 、 BC 和 AC 表示出S1、S2 、S3 ，然后根据BC2  AB2  AC2 即可得出S1、S2 、S3 的关
系．
【详解】解：在ABC中，A  90，
BC2  AB2  AC2，
1 1 2  2 1 1 2  2 1 1 2  2
S3  ( AC)  AC ，S2  ( AB)  AB ，S1  ( BC)  BC ，
2 2 8 2 2 8 2 2 8
 2 2  2
S3  S2  (AC  AB ) BC  S1 ，
8 8
即S1  S2  S3．
故答案为：S1  S2  S3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．解题的关键是勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角
边长的平方之和一定等于斜边长的平方．（微信：10784702）
11．
【答案】10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行， 所行的路程最短，运用勾
股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，设大树高为 AB 10m，
小树高为CD  4m，
过C点作CE  AB 于E ，则 EBDC 是矩形，
连接 AC ，
EB  4m， EC 8m， AE  ABEB 104  6m，
在 RtAEC中， AC  AE2 EC2  10(m)，
故小鸟至少飞行10m．
故答案是：10．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
12．
9 : .