文档介绍：该【安徽省马鞍山市含山中学人教版高二上学期期末考试数学（理）试卷 】是由【1905133****】上传分享，文档一共【8】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【安徽省马鞍山市含山中学人教版高二上学期期末考试数学（理）试卷 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。2018-2019 学年度第一学期含山中学高二年级期末考试
理科数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分．
y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A（ x ， y ）、B（ x ， y ）两点，如果 x ＋ x ＝6，
那么| AB |等于
1 1 2 2 1 2
A. 8 B. 10 C. 6 D．4
(a＋2) x ＋(1－a) y －3＝0 与(a－1) x ＋(2a＋3) y ＋2＝0 互相垂直，则 a 等于
A.－1 B. 1 C. ±1 D． - 3
2
如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则下列命题中错误的是
N
P
D
M
AC ^ BD A
AC = BD
AC // 截面 PQMN
异面直线 PM与BD 所成的角为 45º
B Q C
过圆 x2 + y2 + 2x - 4y = 0 的圆心，且垂直于直线 x + 2y +1 = 0 的直线方程为
A． x - 2y + 4 = 0
B． x - 2y + 5 = 0
C． 2x - y - 4 = 0
D． 2x - y + 4 = 0
如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是
3
3
A．5＋ B．5＋2 1
2
3
C．4＋2 D．4＋2 1 1
下列说法正确的个数是
①“若a + b ³ 4 ，则a, b 中至少有一个不小于 2”的逆命题是真命题
②命题“设a,b Î R ，若a + b ¹ 6 ，则a ¹ 3 或b ¹ 3 ”是一个真命题
正视图
1
1
俯视图
侧视图
③“ $x0
Î R ， x 2 - x
< 0 ”的否定是“ "x Î R ， x2 - x > 0 ”
0 0
④ a +1 > b 是a > b 的一个必要不充分条件
A．0 B．1 C．2 D．3
已知圆 O： x2 + y2 = 4 上到直线l : x + y = a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的取值范围为
A． (-3 2,3 2 )
C． (-2 2, 2 2 )
B． (-¥, -3 2 )È(3 2, +¥)
D． (-¥, -2 2 )È(2 2, +¥)
B1 C1
A1
，在正三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐷是𝐴𝐶的中点，𝐴𝐴1 = √2𝐴𝐵，则异面直线𝐴𝐵1与𝐵𝐷所成的角为
B C
A．30° B．45° C．60° D．90° D
A
抛物线 x2 = 8y 的焦点为𝐹 ,过点𝐹的直线交抛物线于𝑀 、𝑁两点，点𝑃为 x 轴正半轴上任意一点， 则(⃑⃑⃑𝑂⃑⃑⃑𝑃⃑ + 𝑃⃑⃑⃑⃑𝑀⃑⃑ ) ⋅ (⃑𝑃⃑⃑⃑𝑂⃑ − ⃑𝑃⃑⃑⃑⃑𝑁⃑ ) =
A．−20 B．12 C．-12 D．20
在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面。如图，在棱长为 1 的正方体
𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸, 𝐹分别是棱𝐵1𝐵 , 𝐵1𝐶1的中点，点𝐺是棱𝐶𝐶1的中点，则过线段𝐴𝐺且平行于平面𝐴1𝐸𝐹的截面的面积为
9
B．
8
2
8
C． D．
9
x2 y2
－b2＝1（𝑎 > 0，𝑏 > 0）的左右焦点为𝐹1，𝐹2，渐近线分别为𝑙1，𝑙2，过点𝐹1且与𝑙1垂直
的直线分别交𝑙1及𝑙2于𝑃，𝑄两点，若满足𝑂⃑⃑⃑⃑𝑃⃑ = 1 𝑂⃑⃑⃑⃑𝐹⃑⃑⃑1 + 1 𝑂⃑⃑⃑⃑⃑𝑄⃑ ，则双曲线的离心率为
2 2
A．√2 B．√3 C．√5 D．2
已知直二面角a-l- b，点AÎa , AC ^ l,C为垂足，B Î b ,BD ^ l,D为垂足,若AB= 2，AC = BD= 1
则 D 到平面 ABC 的距离等于
2
3
B．
2 3
C． D．1
6
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
已知直线 ax＋by－1＝0 在 y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线√3x－y－√3＝0 的倾斜角的
2 倍，则 a 的值为 .
𝑝:方程 1表示焦点在𝑦轴上的椭圆，命题𝑞:双曲线 1 的离心率
2
x + y2 =
y2 - x2 =
2m 9 - m 5 m
6
e Î( , 2
2) ，若“𝑝 ∧ 𝑞”为假命题，“𝑝 ∨ 𝑞”为真命题，则𝑚的取值范围是 ．
中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．若三棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶为鳖臑,且𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶, 𝑃𝐴 = 𝐴𝐵 = 2,又该鳖臑的外接球的表面积为24𝜋，则该鳖臑的体积为 .
y
2
2
抛物线 x2 = 2 py( p > 0) 的焦点为 F ,其准线与双曲线 x - = 1 相交于 A、B 两点，若△ABF 为
3 3
等边三角形，则 p = .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）
已知圆𝐶: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 4，直线𝑙过定点𝐴(1，0)．
（1）若直线𝑙与圆𝐶相切，求直线𝑙的方程；
（2）若直线𝑙与圆𝐶相交于𝑃、𝑄两点，且|𝑃𝑄| = 2√2，求直线𝑙的方程．
18.（12 分）
如图，已知△ 𝐴𝐵𝐶和△ 𝐵𝐶𝐷所在平面互相垂直，且∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 900，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,
𝐶𝐵 = 𝐶𝐷，点𝐸, 𝐹分别在线段𝐵𝐷, 𝐶𝐷上，沿直线𝐸𝐹将△ 𝐸𝐹𝐷向上翻折使得𝐷与𝐴重合.
（1）求证：𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐹；
（2）求直线𝐴𝐸与平面𝐴𝐵𝐶所成角.
19．（12 分）
x2 y2 3 3
已知椭圆C : +
a2 b2
= 1(a > b > 0) 经过点(1,
) ,离心率为 .
2 2
求椭圆C 的方程；
（2）直线𝑦 = 𝑘(𝑥 − 1)(𝑘 ≠ 0)与椭圆𝐶交于𝐴, 𝐵两点,点𝑀是椭圆𝐶的右顶点,直线𝐴𝑀与直线𝐵𝑀 分别与𝑦轴交于𝑃, 𝑄两点,试问在𝑥轴上是否存在一个定点𝑁使得𝑁𝑃 ⊥ 𝑁𝑄?若是,求出定点𝑁的坐标;若不是,说明理由.
20.（12 分）
1
2
已知抛物线 y2 = 2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线l , l
分别交 C 于 A,B 两点，交 C 的准
线于P，Q 两点.
若 F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR // FQ；
若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
21．（12 分）
p
如图，三棱柱 ABC - A1B1C1 中，四边形 AA1B1B 是菱形， Ð BB1 A1 = 3 , C1B1 ^ 面 AA1B1B ，
p
二面角C - A1B1 - B 为 ．
6
求证：平面 ACB1 ^ 平面CBA1 ；
求二面角 A - A1C - B 的余弦值.
C C1
B
B1
A A1
22.（12 分）
设圆𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 15 = 0的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D
两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
（1）证明|𝐸𝐴| + |𝐸𝐵|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
（2）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q
两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
2018-2019 学年度第一学期含山中学高二年级期中考试
理科数学参考答案
一、选择题
1A 2C 3B 4D 5A 6C 7A 8C 9B 10B 11D 12C
二、填空题
13. -
5
3
[3,5)
14. (0, ]
2
8
15.
3
三、解答题
17.（1）𝑥 = 1 或 3𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0 （5 分）
（2）𝑦 = 𝑥 − 1 或𝑦 = 7𝑥 − 7 （10 分）
18.（1）面𝐴𝐵𝐶 ⊥面𝐵𝐶𝐷，面𝐴𝐵𝐶 ∩面𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐶, ∠𝐵𝐶𝐷 = 90∘，
⇒ 𝐶𝐹 ⊥ 𝐵𝐶 ⇒ 𝐹𝐶 ⊥ 面 𝐴𝐵𝐶 ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐹 （5 分）
（2）设𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 1，则𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = √2, 𝐵𝐷 = 2，
设𝐵𝐸 = 𝑡，则𝐸𝐷 = 𝐸𝐴 = 2 − 𝑡，取𝐵𝐶的中点𝐻，连接𝐻𝐸, 𝐴𝐻，
又𝐴𝐻 ⊥面𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐸2 = 𝐴𝐻2 + 𝐸𝐻2，∴ (2 − 𝑡)2 = 1 + 𝑡2 − 𝑡 + 1，
2 2
∴ 𝑡 = 1，∴点𝐸是𝐵𝐷的中点，𝐻𝐸//𝐵𝐶, ∴ 𝐻𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶, ∠𝐸𝐴𝐻为所求角的线面角 （9 分）
𝐴𝐸 = 1, 𝐴𝐻 = √ 2 , 𝐸𝐻 = √2，∴ 𝑠𝑖𝑛∠𝐸𝐴𝐻 = √2，所以直线𝐴𝐸与平面𝐴𝐵𝐶所成角为𝜋. （12 分）
2 2 2 4
19.（Ⅰ）由题意可知 1 + 3 = 1 ,又𝑐 = √3,即𝑎2−𝑏2 = 3,𝑎2 = 4𝑏𝑎2 = 4,即𝑎 = 2.
𝑎2
4𝑏2
𝑎 2
𝑎2 4
所以𝑏 = 𝐶的方程为𝑥2 + 𝑦2 = 1. （5 分）
4
（Ⅱ）设存在定点𝑁(𝑛, 0)使得𝑁𝑃 ⊥ 𝑁𝑄.
𝑦 = 𝑘(𝑥 − 1),
2 2
由{
𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0.
得 (4𝑘2 + 1)𝑥2 − 8𝑘2𝑥 + 4(𝑘2 − 1) = 0(𝑘 ≠ 0).
设𝐴(𝑥 , 𝑦 ), 𝐵(𝑥 , 𝑦 ),则𝑥
+ 𝑥
= 8𝑘2
, 𝑥 𝑥
= 4(𝑘2−1).
1 1 2 2
1 2 4𝑘2+1 1 2
4𝑘2+1
因为𝑀(2,0),所以直线𝐴𝑀的方程为:𝑦 = 𝑦1 (𝑥 − 2),则𝑃(0, −2𝑦1),
𝑥1−2 𝑥1−2
直线𝐵𝑀的方程为:𝑦 = 𝑦2 (𝑥 − 2), 则𝑄(0, − 2𝑦2). 则有⃑𝑁⃑⃑⃑⃑𝑃⃑ = (−𝑛, − 2𝑦1),𝑁⃑⃑⃑⃑⃑𝑄⃑ = (−𝑛, −2𝑦2), 由
𝑥2−2
𝑥2−2
𝑥1−2
𝑥2−2
⃑𝑁⃑⃑⃑⃑𝑃⃑ ⋅ 𝑁⃑⃑⃑⃑⃑𝑄⃑ = 0得𝑛2 + 4𝑦1𝑦2 = 0,整理得𝑛2 − 3 = 0,故𝑛 = ±√3
(𝑥1−2)(𝑥2−2)
1
20. 有题意知 F（ 1 ,0 ），设直线 l
的方程为 y=a,直线 l2
的方程为 y=b,
2
则 ab≠0,且 A ( a
2
2
2
, a) ,B (b
2
, b) ,P (-
1 , a) ,Q (-
2
1 , b) ,R (- 1 ,
2 2
a + b ) 2
记过A,B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x -(a + b) y + ab = 0
证明：由于 F 在线段 AB 上，故1+ ab = 0 。记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则k1=
a - b a - b 1 -ab b - 0
= = =
1+ a2 a2 - ab a a
= -b =
1 1 = k2 所以AR||FQ. （6 分）
- -
2 2
a - b
1 1 1
设l 与x 轴的交点为 D（x1,0）,则 SDABF
= b - a FD
2
= 2 b - a x1 - 2 , SDPQF = 2 .
a - b
由题意可得 b - a x - 1 = , 所以 x =0(舍去）或 x =1. （8 分）
1 2 2 1 1
设满足条件的 AB 的中点为 E（x,y）.当 AB 与X 轴不垂直时，
k =k 可得 2 = y (x ¹ 1).而 a + b = y，所以y2 = x -1(x ¹ 1).
AB DE
a + b
x -1 2
当 AB 与 x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为（1,0），满足方程 y2 = x -1. 所以所求的轨迹方程为 y2 = x -1.
（12 分）
21.（1）证明：在三棱柱 ABC - A1 B1C1 中，由C1B1 ^ 面AA1BB1 得CB ^ 面AA1BB1 ， 则CB ^ AB1 ，又 AA1BB1 是菱形, 得 AB1 ^ A1B ,而CB Ç A1B = B ,则 AB1 ^ 面A1BC , 故平面 ACB1 ^ 平面CBA1 . （5 分）
（2）由题意得DA1B1B 为正三角形，取 A1B1 得中点为 D，连 CD,BD,
则 BD ^ A1B1 ,又CB ^ A1B1 易得CD ^ A1B1 ,则ÐCDB 为二面角C - A1B1 - B 的平面
角，设 BC = 1,
ÐCDB = p ,所以 BD = ,所以 A B = BB = A B = 2
3
6 1 1 1 1
过 AB1, A1B 交点O 作OE ^ A1C ,垂足为 E ,连 AE 则ÐAEO 为二面角 A - A1C - B 的平面角 （9 分）
又OE =
5 , AO = 得 AE = 4 5 所以cosÐAEO = 1
（12 分）
3
5 5 4
y
2
2
22. （1）由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：x = 1( y ¹ 0)
（5 分）
4 3
（2）当l 与 x 轴不垂直时，设l 的方程为
， ， .
.
故四边形面积
， . .
.
. （9 分）
可得当l 与 x 轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,8 3) . （11 分） 当l 与 x 轴垂直时，四边形 MPNQ 的面积为 12.
综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3)
（12 分）