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第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数的最大值为5，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是上的偶函数，设，，，当任意、时，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
5．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
6．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A．200 B．50 C．-70 D．-100
二、多选题
7．函数，是（ ）
A．最小正周期是
B．区间，上的减函数
C．图象关于点，对称
D．周期函数且图象有无数条对称轴
8．对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中正确的是（ ）
A．,
B．,
C．函数（）的值域为
D．若, 使得，，，,同时成立，则整数的最大值是5
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数若方程有且只有五个根，分别为，，，，（设），则下列命题正确的是_____________（填写所有正确命题的序号）.
①；②存在k使得，，，，成等差数列；
③当时，；④当时，.
10．，都有使得，，则实数的取值范围是______.
11．已知函数，若存在非零实数使得，则最小值为______．
12．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则______.
四、解答题
13．已知函数.
（1）直接写出在上的单调区间（无需证明）；
（2）求在上的最大值；
（3）设函数的定义域为，若存在区间，满足：，，使得，则称区间为的“区间”.已知（），若是函数的“区间”，求的最大值.
14．设常数，函数
（1）若，求的单调区间；
（2）若为奇函数，且关于的不等式在内有解，求实数的取值范围；
（3）当时，，若任意，存在，且，使，求实数的取值范围．
15．已知二次函数满足，且的最小值为0．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，且在区间上是增函数，求实数的取值范围．
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，试根据此结论解答下列问题：
（1）若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数图象是否中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；
（2）若（1）中的函数还满足时，，求不等式的解集；
（3）若函数．若与的图象有3个不同的交点，，其中，且，求值．
参考答案
1．D
【分析】
根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求出，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数a的取值范围.
【详解】
解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为
又∵，，
∴为单调增函数，值域为
即
∵，，使得，
∴
故选：D.
【点睛】
本题着重考查了函数的值域，.
2．B
【分析】
根据题意，设，利用定义法判断函数的奇偶性，得出是奇函数，结合条件得出的最大值和最小值，从而得出的最小值.
【详解】
解：由题可知，，
设，其定义域为，
又，
即，
由于
，
即，所以是奇函数，
而，
由题可知，函数的最大值为5，
则函数的最大值为：5-3=2，
由于是奇函数，得的最小值为-2，
所以的最小值为：-2+3=1.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用定义法判断函数的奇偶性，以及奇函数性质的应用和函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
3．C
【分析】
把函数有三个零点，可得方程有三个根，进而转化为函数和的图象有三个不同的交点，结合函数的图象、斜率公式和判别式，即可求解.
【详解】
由题意，函数有三个零点，即方程有三个根，
函数过定点，
作出函数和的图象，如图所示，
当直线过点和时，此时，
当直线与相切时，
联立方程组，可得，
由，解得，
结合图象可知，若函数和的图象有3个交点，
则实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，其中解答中把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的个数，结合图象求解是解答的关键，意在考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档试题.
4．D
【分析】
根据题意可得函数在上为减函数，再判断的大小关系，即可得到答案.
【详解】
当任意、时，都有
函数在上为减函数，
∵是上的偶函数，
∴，，
∵；
∴；
即.
故选：D.
【点睛】
本题考查单调性和奇偶性的定义，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的应用.
5．B
【分析】
设，（，且，为互质的正整数） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可．
【详解】
解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，
对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，
故选项A错误；
对B、C选项：
①当，，则，；
②当，，则，＝0；
③当或，则，，
所以选项B正确，选项C、D错误，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.
6．D
【分析】
由题设条件，可得，可得关于点对称，根据对称性，可得解.
【详解】
函数满足
即为
可得关于点对称
函数，即的图象关于点对称，
即若点为交点，则点也为交点，
同理若为交点，则点也为交点，
……
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
故选：D
【点睛】
本题考查了函数对称性的综合应用，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
7．BD
【分析】
根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解.
【详解】
，
则对应的图象如图：
A中由图象知函数的最小正周期为，故错误，
B中函数在上为减函数，故正确，
C中函数关于对称，故错误，
D中函数由无数条对称轴，且周期是，故正确
故正确的是
故选：BD
【点睛】
本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．ACD
【分析】
由定义得，可判断A；由，得，可判断B；由，得得函数的值域，可判断C；
根据，，，，，
推出不存在同时满足，．而时，存在满足题意，可判断D.
【详解】