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考试时间： 120分钟 总分： 150分 年级/班级： 高一〔1〕班
一、选择题〔共10题，每题3分，共30分〕
要求：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 知晓函数f(x) = ax^2 + bx + c，假设f(1) = 2，f(-1) = 0，且f(x)的图像开口向上，那么以下选项中正确的选项是〔 〕
A. a > 0，b = 2，c = 0
B. a < 0，b = -2，c = 0
C. a > 0，b = -2，c = 0
D. a < 0，b = 2，c = 0
2. 知晓等差数列{an}的首项为a1，公差为d，假设a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，那么数列{an}的通项公式为〔 〕
A. an = 2n + 1
B. an = 3n - 2
C. an = 4n - 3
D. an = 5n - 4
3. 假设复数z满足|z - 1| = |z + 1|，那么复数z的实部为〔 〕
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
4. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°，那么sinB - sinC的值为〔 〕
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
5. 知晓函数f(x) = x^3 - 3x + 2，那么f(x)的对称中心为〔 〕
A. (0, 2)
B. (0, -2)
C. (1, 0)
D. (-1, 0)
6. 知晓数列{an}的前n项和为Sn，假设an = 2^n - 1，那么S10的值为〔 〕
A. 1023
B. 1024
C. 2047
D. 2048
7. 假设log2x + log3x = 2，那么x的值为〔 〕
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
8. 知晓等比数列{an}的首项为a1，公比为q，假设a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，那么数列{an}的通项公式为〔 〕
A. an = 2^n + 1
B. an = 3^n - 2
C. an = 4^n - 3
D. an = 5^n - 4
9. 假设复数z满足|z - 1| = |z + 1|，那么复数z的虚部为〔 〕
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
10. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°，那么cosB + cosC的值为〔 〕
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
二、填空题〔共10题，每题3分，共30分〕
要求：将答案填入题中的横线上。
11. 知晓函数f(x) = (x - 1)^2 - 2，那么f(x)的对称轴为______。
12. 知晓等差数列{an}的首项为a1，公差为d，假设a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，那么数列{an}的公差为______。
13. 复数z满足|z - 1| = |z + 1|，那么复数z的实部为______。
14. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°，那么sinB + sinC的值为______。
15. 知晓函数f(x) = x^3 - 3x + 2，那么f(x)的对称中心为______。
16. 知晓数列{an}的前n项和为Sn，假设an = 2^n - 1，那么S10的值为______。
17. 假设log2x + log3x = 2，那么x的值为______。
18. 知晓等比数列{an}的首项为a1，公比为q，假设a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，那么数列{an}的公比为______。
19. 假设复数z满足|z - 1| = |z + 1|，那么复数z的虚部为______。
20. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°，那么cosB + cosC的值为______。
三、解答题〔共5题，共90分〕
21. 〔此题共12分〕知晓函数f(x) = x^2 - 2ax + b，其中a，b为实数。
〔1〕假设f(x)的图像开口向上，且f(1) = 0，求a和b的值；
〔2〕假设f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，求a的取值范围。
22. 〔此题共12分〕知晓等差数列{an}的首项为a1，公差为d。
〔1〕假设a1 + a2 + a3 = 6，求a1和d的值；
〔2〕假设数列{an}的前n项和为Sn，求S10的值。
23. 〔此题共12分〕知晓复数z满足|z - 1| = |z + 1|。
〔1〕求复数z的实部；
〔2〕假设z = x + yi〔x，y为实数〕，求x和y的关系式。
24. 〔此题共12分〕在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°。
〔1〕求sinB + sinC的值；
〔2〕求cosB + cosC的值。
25. 〔此题共12分〕知晓函数f(x) = x^3 - 3x + 2。
〔1〕求f(x)的对称中心；
〔2〕假设f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，求这两个交点的坐标。
本次试卷答案如下：
一、选择题答案及解析：
1. C. a > 0，b = -2，c = 0
解析：由于f(x)的图像开口向上，可知a > 0。由f(1) = 2，得a + b + c = 2；由f(-1) = 0，得a - b + c = 0。解得a = 2，b = -2，c = 0。
2. B. an = 3n - 2
解析：由a1 + a2 + a3 = 6，得3a1 + 3d = 6，即a1 + d = 2；由a4 + a5 + a6 = 18，得3a1 + 9d = 18，即a1 + 3d = 6。解得a1 = 1，d = 1。因此，an = a1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1) = 3n - 2。
3. A. 0
解析：由|z - 1| = |z + 1|，可得z在实轴上的投影为0，即z的实部为0。
4. C. √3
解析：由∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°，可得sinB = sin45° = √2/2，sinC = sin105° = √6/4。因此，sinB - sinC = √2/2 - √6/4 = (√2 - √3)/2。
5. A. (0, 2)
解析：由f(x) = x^3 - 3x + 2，可得f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = ±1。由于f'(x)在x = 1时由负变正，因此x = 1为f(x)的极小值点，也是对称中心。又因为f(1) = 2，所以对称中心为(0, 2)。
6. A. 1023
解析：由an = 2^n - 1，可得S10 = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + ... + (2^10 - 1) = (2^1 + 2^2 + ... + 2^10) - 10 = (2^11 - 2) - 10 = 2048 - 2 - 10 = 1023。
7. C. 6
解析：由log2x + log3x = 2，得log2x * log3x = log2x * log2(3) / log23 = log2x * 1/2 = 2。解得log2x = 4，即x = 2^4 = 16。
8. D. an = 5^n - 4
解析：与第8题解析相同。
9. A. 0
解析：与第3题解析相同。
10. B. √2
解析：与第4题解析相同。
二、填空题答案及解析：
11. x = 1
解析：由f(x) = (x - 1)^2 - 2，可知对称轴为x = 1。
12. d = 1
解析：与第2题解析相同。
13. 0
解析：与第3题解析相同。
14. √2 - √3)/2
解析：与第4题解析相同。
15. (0, 2)
解析：与第5题解析相同。
16. 1023
解析：与第6题解析相同。
17. 16
解析：与第7题解析相同。
18. q = 2
解析：与第8题解析相同。
19. 0
解析：与第3题解析相同。
20. √2
解析：与第4题解析相同。
三、解答题答案及解析：
21.
〔1〕a = 2，b = 0
解析：由f(x) = x^2 - 2ax + b，得f(1) = 1 - 2a + b = 0，解得a = 1/2。由f(x)的图像开口向上，得a > 0，因此a = 2。又因为f(1) = 0，得b = 0。
〔2〕a的取值范围为(-∞, 0) ∪ (2, +∞)
解析：由于f(x)的图像开口向上，且与x轴有两个不同的交点，可得△ = b^2 - 4ac = (-2a)^2 - 4b > 0。因此，a^2 - 2b > 0。又因为a = 2，得a^2 - 2b = 4 - 2b > 0，解得b < 2。所以a的取值范围为(-∞, 0) ∪ (2, +∞)。
22.
〔1〕a1 = 1，d = 1
解析：由a1 + a2 + a3 = 6，得3a1 + 3d = 6，即a1 + d = 2。由a4 + a5 + a6 = 18，得3a1 + 9d = 18，即a1 + 3d = 6。解得a1 = 1，d = 1。
〔2〕S10 = 10a1 + 10(10 - 1)/2 * d = 10 * 1 + 10 * 9/2 * 1 = 55
解析：由等差数列的前n项和公式Sn = na1 + n(n - 1)d/2，可得S10 = 10a1 + 10(10 - 1)/2 * d = 10 * 1 + 10 * 9/2 * 1 = 55。
23.
〔1〕实部为0
解析：由|z - 1| = |z + 1|，可得z在实轴上的投影为0，即z的实部为0。
〔2〕x和y的关系式为x = y
解析：由z = x + yi，可得|z - 1| = |z + 1|，即√((x - 1)^2 + y^2) = √((x + 1)^2 + y^2)。两边平方，得(x - 1)^2 + y^2 = (x + 1)^2 + y^2，即x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2。化简得x = y。
24.
〔1〕sinB + sinC = √2 - √3)/2
解析：与第4题解析相同。
〔2〕cosB + cosC = √2 - √3)/2
解析：与第4题解析相同。
25.
〔1〕对称中心为(0, 2)
解析：与第5题解析相同。
〔2〕两个交点的坐标为(1, 0)和(-1, 0)
解析：由f(x) = x^3 - 3x + 2，可得f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = ±1。由于f'(x)在x = 1时由负变正，因此x = 1为f(x)的极小值点，也是对称中心。又因为f(1) = 2，所以对称中心为(0, 2)。又因为f(-1) = 0，所以另一个交点为(-1, 0)。