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一维势箱中的Schrodinger方程
Schrodinger方程：
一维Schrodinger方程：
当X≤0或X≥ι时，ψ=0
当 0 < x <ι时，V = 0 ,一维势箱的Schrodinger方程为：
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Schrodinger方程的求解：
这实际上是解二阶微分方程的问题。
写出体系的位能（吸引能、排斥能） 表达式，写出薜定格方程；
写出微分方程的通解；
根据边界条件和初始条件（定态体系无初始条件）求特解；
用归一化条件确定特解。
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一维势箱Schrodinger方程的求解
一维势箱Schrodinger方程 :
这是常系数二阶线性齐次微分方程，通解为：
在边界处，ψ（0）=0，ψ（ι）=0
所以
即 ψ（0）=Acos0+Bsin0=0
因为 sin0 =0， 所以 Acos0 = 0
因为 cos0 = 1 所以 A = 0
故一维势箱的薛定格方程为:
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对
因为 ψ（ι）=0
所以
因为 B ≠ 0 [若B=0，则ψ（X）=0）]
所以
所以
（ n为常数）
所以
（一个n值表示粒子在一种定态）
把E的表达式代入ψ(x)的通式，得：
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对
确定B值
因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现的几率总和应满足根据归一化条件： ∫∞∣Ψ∣2dτ = 1
对一维势箱有：
所以
根据积分公式：
求得：
所以
所以 ，一维势箱的解为：
( n=1,2,3,……)
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一维势箱结果讨论
根据一维势箱的解
一维势箱粒子可能存在的状态和能量：
…… ……
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在金属内部，自由电子可有无穷多个定态ψn ，每一定态具有一个特征能量En ，En的可能值由n来约束，由于n为量子数，故E n的值勤是不连续的，也就是能量量子化。当n增大时，En也增大。
两个状态间的能级差:
当势箱很大（ι很大）或粒子很重（m很大）时，能级间隔就很小，则能量就可看成是连续的。因此，宏观物体的能量量子化特征就显示不出来了。
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由于粒子活动范围增大而产生能量降低的效应称为离域效应。
由能量公式可知,当电子活动范围增大(ι增大)时,能量值减小,例如,丁二烯中电子活动范围比乙烯大,能量降低,因此丁二烯中的π电子比乙烯更稳定。
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当n = 1 时，体系能量最低
因为: E＝T＋V 而箱内: V＝0
所以，动能T永远大于零。
最低零点能效应：体系最低能量不为零的现象。
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