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高中数学选修二综合测试题基本知识过关训练
单选题
𝑎1 ∗
1、已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn，公差 d≠0 ， ≤ 1．记 b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，𝑛 ∈ 𝑁 ，下列等式不可能．．．
成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．2 = D．2 =
4 2 8 4 2 8
答案：D
分析：根据题意可得，𝑛+1 = 2𝑛+2 − 2𝑛 = 2𝑛+1 + 2𝑛+2，而1 = 2 = 1 + 2，即可表示出题中
2,4,6,8，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
对于 A，因为数列{𝑛}为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4 + 4 = 2 + 6可得，24 = 2 + 6，
A 正确；
对于 B，由题意可知，𝑛+1 = 2𝑛+2 − 2𝑛 = 2𝑛+1 + 2𝑛+2，1 = 2 = 1 + 2，
∴ 2 = 3 + 4，4 = 7 + 8，6 = 11 + 12，8 = 15 + 16．
∴ 24 = 2(7 + 8)，2 + 6 = 3 + 4 + 11 + 12．
根据等差数列的下标和性质，由3 + 11= 7 + 7,4 + 12 = 8 + 8可得2 + 6 = 3 + 4 + 11 + 12=2(7 +
8)=24，B 正确；
对于 C，2 − = ( + 3)2 − ( + )( + 7) = 22 − 2 = 2( − )，
4 2 8 1 1 1 1 1
当 = 时，2 = ，C 正确；
1 4 2 8
对于 D，2 = ( + )2 = (2 + 13)2 = 42 + 52 + 1692， = ( + )( + ) =
4 7 8 1 1 1 2 8 3 4 15 16
(2 + 5)(2 + 29) = 42 + 68 + 1452，
1 1 1 1
2 − = 242 − 16 = 8(3 − 2 )．
4 2 8 1 1
当 > 0时， ≤ ，∴ 3 − 2 = + 2( − ) > 0即2 − > 0；
1 1 1 4 2 8
当 < 0时， ≥ ，∴ 3 − 2 = + 2( − ) < 0即2 − > 0，所以2 − > 0，D 不正确．
1 1 1 4 2 8 4 2 8
故选：D.
小提示：本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
2、设 {𝑛}是等比数列，且1 + 2 + 3 = 1，2 + 3+4 = 2，则6 + 7 + 8 =（ ） : .
A．12B．24C．30D．32
答案：D
分析：根据已知条件求得𝑞的值，再由 + + = 𝑞5( + + )可求得结果.
6 7 8 1 2 3
设等比数列{ }的公比为𝑞，则 + + = (1 + 𝑞 + 𝑞2) = 1，
𝑛 1 2 3 1
+ + = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 = 𝑞(1 + 𝑞 + 𝑞2) = 𝑞 = 2，
2 3 4 1 1 1 1
因此， + + = 𝑞5 + 𝑞6 + 𝑞7 = 𝑞5(1 + 𝑞 + 𝑞2) = 𝑞5 = 32.
6 7 8 1 1 1 1
故选：D.
小提示：本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
3、已知() = 2 − ′(1)，则′(6)等于（ ）
A．11B．10C．8D．1
答案：A
分析：求导得′() = 2 − ′(1)，则′(1) = 2 − ′(1)，解得′(1)的值，代入即可求得结果.
() = 2 − ′(1)，求导得′() = 2 − ′(1)，
则′(1) = 2 − ′(1)，解得′(1) = 1，
故() = 2 − ，
′(6) = 2 × 6 − 1 = 11，
故选：A.
1 3 𝑎 2
4、已知函数() = 3 + 2 + + 1在(−∞,0)，(3,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，则实数 a 的取值
范围为（ ）
10 5
A．[− ,− ]B．(−∞,−2]
3 2
10 10 5
C．(− 3 ,−2]D．(− 3 ,−2)
答案：A
′(0) ≥ 0
′
′ (1) ≤ 0
分析：由题意可得 () = 0两个根分别位于[0,1]和[2,3]上，所以 ′ ，从而解不等式组可求出实数
(2) ≤ 0
{′(3) ≥ 0
的取值范围. : .
1 3 𝑎 2 ′ 2
由() = 3 + 2 + + 1，得 () = + + 1．
因为()在(−∞,0)，(3,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
所以方程′() = 0的两个根分别位于区间[0,1]和[2,3]上，
′(0) ≥ 0 1 ≥ 0,
′
(1) ≤ 0 1 + + 1 ≤ 0,
所以 ′ ，即{
(2) ≤ 0 4 + 2 + 1 ≤ 0,
{′(3) ≥ 0 9 + 3 + 1 ≥ 0,
10 5
解得− ≤ ≤ − .
3 2
故选：A．
5、标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”“E”
字视标，且从视力 的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的10 10倍，若视力
√
的视标边长为，则视力 的视标边长为（ ）
4 9 −4 −9
A．105B．1010C．10 5D．10 10
答案：D
分析：由等比数列的通项公式计算．
设第𝑛行视标边长为𝑛，第𝑛 − 1行视标边长为𝑛−1(𝑛 ≥ 2)，
10 𝑎𝑛 −1 −1
由题意可得𝑛−1 = √10𝑛(𝑛 ≥ 2)，则 = 10 10 (𝑛 ≥ 2)，则数列{𝑛}为首项为，公比为10 10的等比数列，
𝑎𝑛−1
1 10−1 9 9
所以 = (10−10) = 10−10 ，则视力 的视标边长为10−10，
10
故选：D. : .
6、已知等比数列{𝑛}的各项均为正数，且1 + 3 = 20,3 + 5 = 5，则使得12⋯𝑛 < 1成立的正整数𝑛的
最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
答案：C
𝑛(9−𝑛)
分析：应用等比数列通项公式求基本量可得 = 25−𝑛，再由 ⋯ = 2 2 < 1求正整数𝑛的范围，即可
𝑛 1 2 𝑛
得答案.
若等比数列的公比为𝑞 > 0，且𝑛 > 0，
(1 + 𝑞2) = 20 1 1
由题设{ 1 ，两式相除得𝑞2 = ，则𝑞 = ，
(1 + 𝑞2) = 5 4 2
3
所以 = 16，故 = 25−𝑛，显然𝑛 ≤ 5时 ⋯ < 1不成立，
1 𝑛 1 2 𝑛
∗ 𝑛(9−𝑛) 𝑛(9−𝑛)
所以𝑛 > 5且𝑛 ∈ N ， ⋯ = 24+3+2+1+0−1−...−(5−𝑛) = 2 2 < 1，即 < 0，则𝑛 > 9，
1 2 𝑛 2
故正整数𝑛的最小值为 10.
故选：C
7、某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24ℎ城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程
机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作
24ℎ．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻
斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24ℎ内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要．．．抽
调这种型号翻斗车（ ）
A．25辆 B．24辆 C．23辆 D．22辆
答案：C
分析：由题意可知每辆车的工作时间成等差数列，利用等差数列前𝑛项和公式可确定𝑛辆车的工作总时长𝑛，
当𝑛 = 23时，𝑛 < 480，当𝑛 = 24时，𝑛 > 480，可知共需要24辆车，由此确定结果.
总工作量为：20× 24= 480ℎ，
1
由题意可知：每调来一辆车，工作时间依次递减3ℎ，则每辆车的工作时间成等差数列，
1
设第𝑛辆车的工作时间为𝑛，则1 = 24，等差数列的公差 = −3， : .
𝑛(𝑛−1) 𝑛(𝑛−1)
∴ 𝑛辆车的工作总时长𝑛 = 𝑛1 + 2 = 24𝑛 − 6 ，
23×22 24×23
∵ 23 = 24× 23− 6 ≈ 468< 480，24 = 24× 24− 6 = 484> 480，
∴共需24辆车完成工程，∴至少还需要抽调24− 1 = 23辆车.
故选：C.
8、已知等差数列{𝑛}的公差为正数，等比数列{𝑛}的公比为𝑞，若1 = 1 = 1,2 = 2,14 = 4，则 + 𝑞 =
（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：B
1 + = 𝑞
分析：分析得到𝑞 > 1，再解方程组{ 3 即得解.
1 + 13 = 𝑞
1 + = 𝑞
由2 = 2,14 = 4，得{ 3 ，因为 > 0,∴ 𝑞 > 1，
1 + 13 = 𝑞
𝑞3−1
所以 = 13,∴ 𝑞2 + 𝑞 − 12= 0，
𝑞−1
解得𝑞 = 3, = 2, + 𝑞 = 5.
故选：B.
多选题
9、（多选题）下列求导运算错误．．的是（ ）
A．(cos)′ = sinB．(3𝑥)′ = 3𝑥log
3
′ 1 −2 ′ −1
C．(lg) = D．( ) = −2
𝑥ln10
答案：ABD
分析：运用基本初等函数的导数公式进行判断即可.
因为(cos)′ = −sin，所以 A 不正确；
𝑥 ′ 𝑥 𝑥 1
因为(3 ) = 3 ⋅ ln3 = 3 ⋅ ，所以 B 不正确；
log3
′ 1
因为(lg) = ，所以 C 正确；
𝑥⋅ln10
因为(−2)′ = −2−2−1 = −2−3，所以 D 不正确．
故选：ABD : .
10、等差数列{𝑛}的前 n 项和为𝑛，若1 > 0，公差 ≠ 0，则下列说法正确的是（ ）．
A．若5 > 9，则14 > 0B．若 5 = 9，则7是{𝑛}中最大的项
C．若6 > 7，则7 > 8D．若6 > 7，则5 > 6
答案：BC
分析：对于 A，由已知和等差中项的性质求得1 + 14 < 0，再由等差数列求和公式可判断；
2
对于 B，由已知得 = −13 1，继而得7 > 0，8 < 0，由此可判断；
对于 C，由已知得7 < 0，从而有 < 0，故而可判断；
对于 D，由已知得7 < 0，但不能确定6是否为负，故而可判断．
解：对于 A，因为5 > 9，所以6 + 7 + 8 + 9 < 0，即2(1 + 14) < 0，所以1 + 14 < 0，又14 =
14(𝑎1+𝑎14)
2 ，所以14 < 0，故 A 错误；
2
对于 B，由5 = 9，得51 + 10 = 91 + 36，得 = − 1，
13
𝑎1 𝑎1
因为1 > 0，7 = 1 + 6 = 13 > 0，8 = 1 + 7 = −13 < 0，
所以7是{𝑛}中最大的项，故 B 正确；
对于 C，因为6 > 7，所以7 − 6 = 7 < 0，
又1 > 0，所以 < 0，所以8 < 7 < 0，所以7 > 8，故 C 正确；
对于 D，因为6 > 7，所以7 − 6 = 7 < 0，但不能确定6是否为负，
因此不一定有5 > 6，故 D 错误．
故选：BC．
小提示：方法点睛：等差数列的前n 项和𝑛有如下性质：
（1）(𝑛,𝑛)在二次函数的图象上，可以利用二次函数性质求得𝑛的最值；
（2）𝑛 = 𝑛−1 + 𝑛(𝑛 ≥ 2)，可由𝑛的正负确定𝑛与𝑛−1的大小；
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
（3）𝑛 = 2 ，因此可由1 + 𝑛的正负确定𝑛的正负．
11、以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ）
1 1
A．（𝑥）′= 𝑥2B．（cos2x）'＝﹣ 2sin2x : .
3𝑥 ′ −1
C．( ) = 3𝑥D．（lgx）′=
𝑛3 𝑥𝑛10
答案：BC
解析：对各个答案分别利用求公式和求导法则进行求导，选出正确答案即可.
1 1 3𝑥 𝑥 1
( )' = − 2，