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类型一最优方案问题
【典例 1】 某市继 2019 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某
小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2 个温馨提示
牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的 3 倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100 个，且费
用不超过 10 000 元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是
多少元？
【解题思路】
(1)根据“购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元”，建立方程求解即可得出
结论；
(2)根据“费用不超过 10 000 元和至少需要安放 48 个垃圾箱”，建立不等式即可得
出结论．
【解答过程】
(1)设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，
根据题意，得 2x＋3×3x＝550，
∴ x ＝ 50. 经检验，符合题意，
∴ 3x ＝ 150 元．
即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150 元；
(2)设购买温馨提示牌 y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为 (100－y) 个，
根据题意，得
∴ 50 ≤ y ≤ 52.
: .
∵ y 为正整数，
∴ y 为 50,51,52，共 3 种方案．
即温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；
温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；
温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个．
根据题意，费用为 50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，
当 y ＝ 52 时，所需资金最少，最少是 9 800 元．
【总结归纳】
本例题属于经济类方案设计问题，
用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．
此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等
知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．
【典例 2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深
度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生
中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有
一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车 乙种客车
载客量/(人/辆) 30 42
租金/（元/辆） 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上
至少要有 2 名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用
客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
: .
【解题思路】
(1) 设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；
(2) 根据汽车总数不能小于 300/42 ＝50/7 ( 取整为 8 )辆，即可求出；
(3) 设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
由题意，得 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得 x 的取值范围，分析得出即可．
【解答过程】
(1)设老师有 x 名，学生有 y 名．
根据题意，列方程组为
故老师有 16 名，学生有 284 名．
(2) ∵ 每辆客车上至少要有 2 名老师，
∴ 汽车总数不能大于 8 辆．
300 50
又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 = ( 取整为 8)辆，
42 7
综上可知汽车总数为 8 辆．
故答案为 8.
(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
∵ 车总费用不超过 3 100 元，
∴ 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，解得 x ≤ 7.
为使 300 名师生都有座，
∴ 42x＋30(8－x) ≥ 300，解得 x ≥ 5.
∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数 )．
∴ 共有 3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；
: .
方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；
方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100 元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【典例 3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加
b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
方案二
: .
方案三
小红发现这三种方案都能验证公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
【解题思路】
根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．
【解答过程】
根据由题意，得
方案二：
a2+ab+(a+b)b= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
方案三：
= a2+2ab+b2
=(a+b)2
【总结归纳】
: .
本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导
过程．
【典例 4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .
4-1
(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；
(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；
在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以
批发到较多数量的该种水果；
4-2
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3
所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销
商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .
: .
4-3
【解答过程】
(1)图 ① 表示批发量不少于 20 kg 且不多于 60 kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批
发 ；图 ② 表示批发量高于 60 kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 .
(2)根据题意，得
函数图象如图 4-4 所示 .
4-4
由函数图象可知，资金金额满足 240 < w ≤ 300 时，以同样的资金可批发到较多数
量的该种水果 .
(3)
解法一：
设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量
: .
n = 320 - 40x ，
当 n > 60 时 ，x < .
根据题意，销售利润为
y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)
= 40[-(x-6)2 +4]
从而 x = 6 时，y 最大值 = 160，此时 n = 80 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160
元 .
解法二：
设日最高销售量为 x kg (x>60) .
则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .
则 p = (320-x)/40 .
销售利润
1
=- (x-80)2+160
40
从而 x = 80 时，y 最大值 = 160，此时 p = 6 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160
元 .
【典例 5】某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，
现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提
下，解答下列问题：
（1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系
式，并求出自变量 x 的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
: .