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大学物理练习册解答
第九章 导体和介质
1、一导体球半径为R 1，其外同心地罩以内、外半径分别为R 2和R3的厚导体壳，此系统
带电后内球电势为U ，外球所带电量为Q ，求此系统各处的电势和电场分布。
⎧ < R r 0 1
⎪ q内
⎪ 2 1 <<R r R 2
解：设内球带电量为q ,依据题意可知电场分布 E ⎪ πε0r 4
内 = ⎨ <<R r R 0
⎪ 2 3
⎪ 内 + Q q
2 > R r 3
⎪⎩⎪⎩πε0r 4
R2 q内 ∞ 内 +Q q q内 1 1 内 +Q q
U = ∫∫R1 2 dr+ R3 2 dr = ( )+−
πε0r 4 πε0r 4 4πε R1 0 R2 πε R 4 3 0
πε − 2 1 3 2 1 0 Q R R R R R 4 U
q内 =
+− R R R R R R 2 1 3 1 3 2
⎧ < R r U 1
⎪ q内 −q内 内 +Q q
⎪ + + 1 <<R r R 2
⎪ πε0r 4 πε R 4 2 0 πε R 4 3 0
⎪ +Q q
U =∴⎨ 内 <<R r R
⎪ 2 3
πε R 4 3 0
⎪ 内 +Q q
⎪ > R r 3
⎪⎩⎪⎩ πε0r 4
r v
注上式采用带电球壳的电势叠加，也可用 ∫ ⋅= l d E u 获得
2、半径为R1和R2 (R1<R2 )的相互绝缘的两同心导体球壳，现使内球壳带上+q 电量时求:
(1) 外球的电荷与电势；(2) 若把外球接地后再重新绝缘，外球的电势与电荷；
(3) 然后把内球壳再接地，这时内球的电荷为多少？这时外球的电势又为多少?
r r ∞ q q
解： 外 外 ∫∫d E U 0 q ) 1 ( l =⋅==R2 2 dr =
πε0r 4 πε R 4 2 0
r r r
外 ∫ l =⋅=−= Q 外 = ) 0 E ( 0 d E U q q ) 2 (
q内 −q R1
U ) 3 ( 内 = + q 0 内 =⇒= q
πε R 4 1 0 πε R 4 2 0 R2
R1
−q q
q内 −q R2 − 2 1 ) R R ( q
U外 = + = 2 = 2
πε R 4 2 0 πε R 4 2 0 πε R 4 2 0 πε R 4 2 0
10 : .
大学物理练习册解答
3、如图所示，一个接地导体球半径为R，有一个 R
电量为 q 的点电荷，点电荷距球心的距离为l，求 O q
导体球表面的感应电荷 Q。 l
解：设接地导体上的感应电荷为
Q，分布在导体球的表面， 因
导体球接地，球上各点电势均为零，即球心O 点处电势U0为零。U0由点电荷q 和球面上
感应电荷共同产生
Q q
U0 = + = 0
πε0R 4 4πε0l
R
Q −= q
l
4、A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距 ，A、C相距 ，
-7
B、C两板均接地，现使A 板带正电 ×10 C不计边缘效应，求:
(1) B板和 C 板上的感应电荷；
(2) A板的电势。
解：（1 ）设B板感应电荷为-q 1，C板的感应电荷为-q 2
C A B
+ 2 1 = ) 1 ( q q q
σ1 q1
E1 = =
ε0 ε0s
σ2 q2
E2 = =
ε0 ε0s
E1 q1
得 = ) 2 (
E2 q2
根据题意 A B A −=−U U U U C
= d E d E 2 2 1 1
) 3 (
E1 d2 1
得 ==
E2 d1 2
由（1 ）、（2）、（3）式可得 ×= −7C 10 0 . 1 q ， ×= −7C 10 0 . 2 q 。
1 2
q1
（2） A d E U 1 1 == d1
ε0S
−7 ×××10 0 . 4 10 0 . 1 −3
= ×= 3V 10 3 . 2
−12 ×× 2 . 0 10 85 . 8
11 : .
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5、一空气平行板电容器，极板面积S=，间距d=，充电使其两板电势差
3 3
U0=3×10 V，然后断开电源再在两极板间充满介质，最后两板间电压降至1×10 V，试
计算: (1) 原空气电容器电容C 0；
( 2 ) 每一极板上所带电量Q；
(3) 两板间原电场强度E 0；
( 4 ) 放入介质后的电容和两板间场强 E；
(5) 介质极化后每一面上的极化电荷 Q'；
(6) 介质的相对介电常数ε r ；
ε s −12 ×× 2 . 0 10 85 . 8
解： C ) 1 ( = 0 = ×= −10F 10 77 . 1
0 d ×10 0 . 1 −2
−10 3 ×=×××==−7C 10 31 . 5 10 3 10 77 . 1 U C Q ) 2 (
0 0 0
U ×10 3 3
E ) 3 ( 0 == ×= 5 m V 10 3
0 d ×10 0 . 1 −2
Q ×10 31 . 5 −7
C ) 4 ( == ×= −10F 10 31 . 5
U ×10 1 3
U 1000 5
E == −2 = m V 10
d ×10 1
ε−=σ=0 1 0 s ) E E ( s ' ' Q ) 5 (
5 5 −12 ×=×××−×=−7C 10 54 . 3 2 . 0 10 85 . 8 ) 10 10 3 (
C ×10 31 . 5 −10
) 6 ( r ==ε −10 = 3
C0 ×10 77 . 1
6、电容值为 100 pF的平板电容器与 50V电压的电源相接，若平板的面积为 100cm2, 其
中充满 εr = 6 的云母片，求:
(1) 云母中的电场强度；
(2) 金属板上的自由电荷；
(3) 介质表面的极化电荷。
εεr 0 S εεr 0 S
解：由 C = d =⇒
d C
u uc ××10 100 50 −12
）（ E 1 == = ×= 3 m v 10 4 . 9
d εεS −12 ××××10 100 6 10 85 . 8 4
r 0
0 εε==σr 0 E D ) 2 (
×=εε=σ=−9 = ) CU (Q C 10 0 . 5 ES S Q
0 0 r 0 0
1 −9
r 0 1 ( ES ) 1 ( PS S ' ' Q ) 3 ( −=ε−ε==σ=0 ×= C 10 17 . 4 Q )
εr
12 : .
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7、平行板电容器极板面积为S，两板间距离为d，当极板上充以等量异号电荷Q 后断开