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数学试题
考生须知:
,考试时间120分钟。
,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
,写在试卷上无效。
,只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.. ( )
,且,则的值为( )
A. B. C. D.
(有位置区别),每人至多分1张,而且票必须分完,则不同分法的种数为( )
,其导函数的图象如图所示,则( )
,没有极小值
,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:
,再两边同时求导得,于是得到:,运用此方法求得函数的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
,项的系数为( )
A.-50 B.-30
,随机变量的分布
-1
0
1
则当在内增大时, ( )
,增大 ,减小
,增大 ,减小
,则的大小关系是为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选得0分)
,5家商场的售价(元)和销售量(件)之间的一组数据如表所示:
价格
9
10
11
销售量
11
10
8
6
5
按公式计算,与的回归直线方程是:,相关系数,则下列说法正确的是( )
B.
, -
,第一、二台车床加工的零件分别占总数的,“任取一个零件为第台车床加工”为事件,“任取一个零件是次品”为事件,则( )
A. B.
C. D.
,则下列说法正确的是( )
,则
,则实数
,且,则的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
,且,则_____________.
,则的值为_____________.
,这是整齐的正方形道路网,其中小明、小华,小齐分别在道路网臂的的三个交汇处,小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径,以相同的速度同时出发,去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为_____________.
非选择题部分
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15.(13分)
一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球,每个球编有不同的号码.
(1)若一次取2个球,至少有一个红球的取法有多少种;
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球,有多少种取法.
16.(15分)
已知的展开式
(1)求展开式中所有项的系数和;
(2)求展开式中二项式系数最大的项;
(3)将展开式中所有项重新排列,求有理项不相邻的概率.
17.(15分)
已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若有三个零点,求的取值范围.
18.(17分)
某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查,部分数据如下表所示(单位:人):
好评
差评
合计
男性
40
68
108
女性
60
48
108
合计
100
116
216
(1)判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”?
(2)若将频率视为概率,从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人,用随机变量表示被抽到的男性观众的人数,求的分布列;
(3)在抽出的216人中,从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,从给出“差评”,随机抽出2人,用随机变量表示被抽到的给出“好评”,求的最大值.
参考公式:,其中.
参考数据:
19.(17分)
已知函数在处的切线和直线垂直.
(1)求实数的值;
(2)若对任意的,都有成立(其中为自然对数的底数),求实数的取值范围.
2023学年第二学期台州市山海协作体期中联考
高二数学学科参考答案
第I卷(选择题)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,,只有一项是符合题目要求的.
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
D
C
C
B
D
A
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,,，部分选对得部分分，有错选得0分.
9
10
11
第II卷（非选择题）
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
13. 14.
四、解答题:本题共5小题,,证明过程或演算步骤.
15.(1)若一次取2个球,至少有一个红球有两种可能:“两个都是红球”或“一个白球一个红球”,故不同的取法有种…………………………………………………………………..6分
(2)若一次取3个球,取出颜色不全相同有两种可能:“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”,故不同的取法有种.…………………………………………………………13分
(其他解法,答案对给分)
16.(1)令可得展开式中所有项的系数和.………………………………………………5分
(2)二项式系数最大的项为第4项或第5项……………………………………………6分
二项式系数最大的项为
………………………………………………………………10分
(3）展开式共有8项，
展开式的通项公式为……………………12分
当为整数,即时为有理项,共4项,
由插空法得有理项不相邻的概率为………………………………………………………………15
17.(1)解:由题意,函数,
…………………………………………………………3分
令,解得或;令,解得,
所以函数单调递增区间为,递减区间为,……………………9分
综上可得,当时,函数单调递增区间为,递减区间为.
(2)解:由(1)知
函数在递增,在递减,在递增,
且当时,,当时,,(不表述不扣分)
要使得函数有三个零点,则满足
………………………………………………………13分
解得,………………………………………………………15分
综上可得,实数的取值范围.
18.(1)
…………………………………………………4分
所以有的把握认为“观影评价与性别有关”……………………………………………5分
(2)从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为,且各次抽取之间相互独立，所以,………………………………………………6分
所以,
故的分布列为
0
1
2
3
………………………………………………………………………………………………………10分
(3)从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人,,1,2.
所以.……………………………13分
所以,即………………………15分
即,解得,又,所以的最大值为2.……………………17分
19.(1)解:由函数,可得
………………………………………………………………2分
可得因为函数在处的切线和直线垂直,所以,即,解得.…………………………………………………………………………………………5分
(2)解:不妨设,则,因为对任意的,都有成立,可得,即,………………………………………………………7分
设,…………………………………………………8分
则,故在单调递增,
从而有,即在上恒成立,
设,则,…………………………………………………………….11分
因为,……………14分
令,即,解得,
令,即,解得,
所以在单调递减,在单调递增,
又因为,故在上最小值,所以,实数的取值范围是……………………………………………………………………….17分