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考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二〔1〕班
一、选择题〔共10题，每题5分〕
要求：从每题的四个选项中选出正确答案。
1. 知晓函数f(x) = 2x - 3，那么f(-1)的值为：
A. -5
B. -1
C. 1
D. 5
2. 在等差数列{an}中，假设a1 = 2，公差d = 3，那么第10项an的值为：
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
3. 知晓圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，那么该圆的半径为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 知晓向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，那么向量a与向量b的点积为：
A. 20
B. 24
C. 28
D. 30
5. 假设函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且a > 0，那么以下说法正确的选项是：
A. b > 0
B. b < 0
C. c > 0
D. c < 0
6. 知晓函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，那么f(x)的最小值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 在三角形ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，那么∠C的度数为：
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
8. 知晓数列{an}的前n项和为Sn，假设a1 = 1，an = 2an-1 + 1，那么数列{an}的通项公式为：
A. an = 2^n - 1
B. an = 2^n + 1
C. an = 2^n - 2
D. an = 2^n + 2
9. 知晓函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，那么f(x)的零点为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 知晓函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，那么f(x)的图像为：
A. V形
B. W形
C. M形
D. 无规那么形状
二、填空题〔共10题，每题5分〕
要求：将答案填入横线上。
1. 假设等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，那么第n项an = _______。
2. 知晓圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，那么该圆的圆心坐标为 _______。
3. 向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，那么向量a与向量b的夹角余弦值为 _______。
4. 假设函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且a > 0，那么f(x)的顶点坐标为 _______。
5. 知晓函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，那么f(x)的图像在x轴上的交点为 _______。
6. 在三角形ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，那么三角形ABC的面积S为 _______。
7. 知晓数列{an}的前n项和为Sn，假设a1 = 1，an = 2an-1 + 1，那么数列{an}的前n项和Sn = _______。
8. 知晓函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，那么f(x)的导函数f'(x) = _______。
9. 知晓函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，那么f(x)的图像在x轴上的对称轴为 _______。
10. 假设函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且a > 0，那么f(x)在x轴上的截距为 _______。
三、解答题〔共5题，每题15分〕
要求：写出解答过程，步骤要清晰。
1. 知晓函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)的图像的顶点坐标和对称轴。
2. 知晓数列{an}的前n项和为Sn，假设a1 = 1，an = 2an-1 + 1，求Sn的表达式。
3. 知晓圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求该圆的半径和圆心坐标。
4. 知晓函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，求f(x)的图像在x轴上的交点。
5. 知晓函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的导函数f'(x)。
四、证明题〔共1题，20分〕
要求：写出证明过程，步骤要清晰。
知晓数列{an}的前n项和为Sn，假设a1 = 1，an = 2an-1 + 1，证明数列{an}是等比数列。
五、应用题〔共1题，20分〕
要求：写出解答过程，步骤要清晰。
知晓某工厂生产一批产品，每天生产x个产品，总本钱为y元。根据调查，当每天生产100个产品时，总本钱为5000元；当每天生产200个产品时，总本钱为8000元。求每天生产多少个产品时，总本钱最低，并求出最低总本钱。
六、拓展题〔共1题，10分〕
要求：写出解答过程，步骤要清晰。
知晓函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的图像在x轴上的截距。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1. A
解析：将x = -1代入函数f(x) = 2x - 3，得到f(-1) = 2(-1) - 3 = -5。
2. C
解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得到an = 2 + (10 - 1)×3 = 2 + 27 = 29。
3. C
解析：将圆的方程配方，得到(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，圆心坐标为(2, 3)，半径为2。
4. B
解析：向量a与向量b的点积为a·b = 2×4 + 3×6 = 8 + 18 = 26。
5. C
解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)，由于a > 0，顶点在y轴上方，因此c > 0。
6. B
解析：函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|在x = -2时取得最小值，即f(-2) = |-2 - 1| + |-2 + 2| = 3 + 0 = 3。
7. C
解析：三角形内角和为180°，∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入∠A = 45°，∠B = 60°，得到∠C = 180° - 45° - 60° = 75°。
8. A
解析：根据递推关系an = 2an-1 + 1，可以推导出an = 2^n - 1。
9. B
解析：函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的零点为x = 1，因为f(1) = 1^3 - 3×1^2 + 2×1 = 1 - 3 + 2 = 0。
10. A
解析：函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|的图像为V形，因为|x - 1|和|x + 2|分别代表x到1和-2的距离。
二、填空题
1. an = 3 + (n - 1)×2 = 2n + 1
解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，得到an = 2n + 1。
2. 圆心坐标为(2, 3)
解析：将圆的方程配方，得到(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，圆心坐标为(2, 3)。
3. 向量a与向量b的夹角余弦值为1/2
解析：向量a与向量b的夹角余弦值为a·b / (|a|·|b|)，代入a = (2, 3)，b = (4, 6)，得到1/2。
4. 顶点坐标为(3/2, -1/4)
解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)，代入a = 2，b = -3，c = 1，得到(3/2, -1/4)。
5. 交点为(1, 0)和(-2, 0)
解析：令f(x) = 0，解得x = 1和x = -2，因此交点为(1, 0)和(-2, 0)。
6. 三角形ABC的面积S为(3√3)/4
解析：三角形ABC的面积为S = (1/2)×BC×AB×sin∠C，代入BC = 3，AB = 2，∠C = 75°，得到S = (3√3)/4。
7. 数列{an}的前n项和Sn = 2^n - 1
解析：根据递推关系an = 2an-1 + 1，可以推导出Sn = 2^n - 1。
8. 导函数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
解析：函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导函数为f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
9. 对称轴为x = -1
解析：函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|的图像在x轴上的对称轴为x = -1。
10. 总本钱最低为4000元，当生产200个产品时
解析：根据题目信息，总本钱y与生产的产品数量x的关系为y = 10x + 5000，当x = 200时，y = 10×200 + 5000 = 7000，因此最低总本钱为4000元。
三、解答题
1. 顶点坐标为(3/2, -1/4)，对称轴为x = 3/2
解析：函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)，代入a = 2，b = -3，c = 1，得到顶点坐标为(3/2, -1/4)。对称轴为x = -b/2a，代入a = 2，b = -3，得到对称轴为x = 3/2。
2. Sn = 2^n - 1
解析：根据递推关系an = 2an-1 + 1，可以得到Sn = a1 + a2 + ... + an = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + ... + (2^n - 1) = 2^(n+1) - n - 2。
3. 半径为2，圆心坐标为(2, 3)
解析：将圆的方程配方，得到(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，圆心坐标为(2, 3)，半径为2。
4. 交点为(1, 0)和(-2, 0)
解析：令f(x) = 0，解得x = 1和x = -2，因此交点为(1, 0)和(-2, 0)。
5. 导函数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
解析：函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导函数为f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
四、证明题
解析：知晓数列{an}的前n项和为Sn，假设a1 = 1，an = 2an-1 + 1，要证明数列{an}是等比数列。
证明：
〔1〕当n = 1时，a1 = 1，成立。
〔2〕假设当n = k时，ak = 2^(k-1)成立。
〔3〕当n = k + 1时，ak+1 = 2ak + 1 = 2×2^(k-1) + 1 = 2^k + 1，成立。
因此，数列{an}是等比数列。
五、应用题
解析：知晓某工厂生产一批产品，每天生产x个产品，总本钱为y元。根据题目信息，当每天生产100个产品时，总本钱为5000元；当每天生产200个产品时，总本钱为8000元。
〔1〕建立本钱函数：y = 10x + 5000
〔2〕求导数：y' = 10
〔3〕令导数等于0，解得x = 0
〔4〕判断x = 0是否为极值点：由于导数y' = 10恒大于0，因此x = 0不是极值点。
〔5〕结论：每天生产200个产品时，总本钱最低，最低总本钱为4000元。
六、拓展题
解析：知晓函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，要求f(x)的图像在x轴上的截距。
〔1〕令f(x) = 0，解得x = 1和x = 2
〔2〕结论：函数f(x)的图像在x轴上的截距为1和2。