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数学试题B卷
时长：120分钟满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
（ ）.
，等比数列，满足，，则（ ）.
A. B.
，则（ ）.
D.
，则的值为（ ）
A. B. C. D.
（ ）.
A. B.
，由甲､乙､丙三个车间生产的产品分别占50%，30%，20%，已知甲､乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%.现从该批产品中任取一件，%，则推测丙车间的次品率为（ ）.
% % % %
，，7，1，8，2，，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（ ）.
，对任意，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
，是其前n项和，，下列说法中正确的是（ ）.
，则是单调递增数列
B.，，一定是等比数列
，使对都成立，则是等差数列
，总存在使成立，则可能是单调递减数列
､乙､丙､丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”､“环境检测”､“图书义卖”这三个项目，“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）.
B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种
C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
，则下列说法正确的是（ ）.
，则
，则过点能作两条直线与曲线相切
，，且，则a的取值范围为
，且的解集为，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
，且期望，则方差__________.
，满足对任意实数x都有，则__________.
（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）.
四､解答题：本题共5小题，，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球.
（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于8分的取法有多少种？（用数字作答）
（2）在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答）
16.（本小题满分15分）
在的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；
（2）求展开式中所有的有理项.
17.（本小题满分15分）
某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长t（小时）
人数
3
4
33
42
18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
（2）从样本“”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；
（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.
18.（本小题满分17分）
已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知函数，其导函数为.
（1）求函数的极值点；
（2）若直线是曲线的切线，求的最小值；
（3）证明：.
2024年云学名校联盟高二年级5月联考
数学评分细则
命题学校：黄冈中学命题人：胡小琴郑齐爱
审题人：襄阳五中曹标平咸宁高中陈小燕
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D 【解析】计算得，故选D.
2.【答案】B 【解析】数列是等差数列，，可得，即，数列是等比数列，，可得，可得，.
3.【答案】A【解析】由题设得，，.
4.【A卷】【答案】C 【解析】.故选C.
【B卷】【答案】C 【解析】由题意得：，解得：.故选C.
5.【答案】D 【解析】的展开式通项为，令，3，.
6.【答案】A 【解析】设丙车间的次品率为P，由题全概率公式知%%%，
解得%.故选：A.
7.【答案】C 【解析】根据题意，分两种情况：
①2排在第一位，则第二位也是2，再从剩下4个位置选出2个，安排两个8，最后安排7和1，
此时有个不同的密码；
②2不排成第一位，则第一位安排7或1，将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列，
此时有个不同的密码；.
8.【答案】B 【解析】当时，易知函数在上是增函数，不妨设，，，
，则在区间上是减函数.
所以在时恒成立，因为，所以在时恒成立，即在时恒成立，，所以的最大值为，所以，又，：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分.
9.【答案】ACD 【详解】A中，，所以是单调递增数列，B中反例当，n为偶数，，，为零的常数列，故B错；C中，则是等差数列，C正确；
D中由题设，若，则是单调递减数列，：ACD.
10.【答案】BCD 【详解】解：对于A，由题意可知，甲､乙､丙､丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确；对于C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；对于D，由已知有：，，所以，：BCD.
11.【答案】AC 【解析】对于A，对求导得：，因为函数在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，记，则，因为，当时，，即函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项A正确；
对于B，时，，，设图象上一点，
则，故过点的切线方程为，
将代入上式得，整理得，
构造函数，则，构造函数，则，
令得，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以函数单调递增，
又，，即方程在区间仅有一解，从而在上也仅有一解，所以过点只能作一条直线与曲线相切，B选项错误.
对于C，因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，，即方程有两个解为，，记，因为，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，
方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点，
所以，所以，C选项正确；
对于D，由，得，等价于，即，
当时，，，又，故，所以，
当时，，无解，故的解集为，
此时，当时，，，从而D错误.
故选：AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】 【详解】，则有，.
13.【答案】2024 【详解】对，两边同时求导导数得，则，，…，，：2024.
14.【答案】56 【详解】设，，，对应个位到千位上的数字，则，且，相当于6个相同的球排成一排，先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空），：56.
四､解答题：本题共5小题，､证明过程或演算步骤.
：（1）设取出x个红球y个白球，，因为，所以或，
∴符合题意的取法种数有种.
（2）总分为8分，则取的个数为红球3个，白球2个，将取出的球排成一排分两步完成，第一步先取球，共有种，第二步再排，先把两个白球全排列，再将3个红球插空，共有，
根据分步乘法计数原理可得，4种.
【只回答的给到9分】.
【评分细则】
.
：（1）展开式的通项为，
因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为，，，所以，即
，所以.（或舍去）.
因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，
即.
令得，即展开式各项系数和为.
（2）由（1）知通项公式：，，，欲求有理项，令，∴，4，8，即当=､4､8时对应的项为有理项，
所以所有有理项为：；；.
16.（1）展开式的通项为，
因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为，，，
所以，即，所以.（或舍去）.
因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，
即.
令得，即展开式各项系数和为.
此处学生把展开式中所有项的都加起来得到的结果正确不扣分，结果不正确不得分.
（2）由（1）知通项公式：，，，
欲求有理项，令，∴，4，8，即当､4､8时对应的项为有理项，
所以所有有理项为：；
；
：（1）设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，
所以.
（2）因为样本中“”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以X的数学期望为.
（3）由题意可知，，，
所以，，所以.
：（1）因为，20，既是等差数列，又是等比数列，
所以.
又，设公差为d､公比为，则，解得或（舍去），所以，.
（2）由（1）可得，所以，
解法一（错位相减法），
，
所以
，
所以.
解法二（裂项相消法），
.
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为.
：（1），，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数的极小值点为，没有极大值点.
（2）令，则，，设切点为，则，，则切线方程为，即，又是曲线的切线方程，则，则，
则令，，，，令，所以时，，为单调递增函数；时，，为单调递减函数；所以，即的最小值为.
（3）证明：由（1）可知，，即，当时取等号，令，
则，所以，
又，所以，所以，，…，