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课时过关·能力提升
,PQ为☉O的切线,A是切点,∠BAQ=55°,则∠ADB=()
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解析:∵PQ是切线,∴∠C=∠BAQ=55°.
∴ADB=110°.∴ACB=360°-110°=250°.
∴∠ADB=125°.
答案:C
,△ABC内接于☉O,EC切☉∠BOC=76°,则∠BCE等于()
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解析:∵EC为☉O的切线,
∴∠BCE=∠BAC=12∠BOC=38°.
答案:B
,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于()
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解析:连接AC,如图所示.
∵MN切圆于C,BC是弦,∴∠BAC=∠BCM.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
∴∠B+∠BAC=90°.
∴∠B+∠BCM=90°.
∴∠B=90°-∠BCM=52°.
答案:C
,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为()
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解析:连接BC,如图所示.
∵EF是☉O的切线,
∴∠ACD=∠ABC.
又AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
又AD⊥EF,
∴∠ACB=∠ADC.
∴△ADC∽△ACB.∴ABAC=ACAD.
∴AC2=AD·AB=2×6=12.∴AC=23.
答案:C
★,∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有()
个个
个个
解析:∵AB⊥BC,
∴BC与☉O相切,BD为弦.
∴∠CBD=∠BED.
同理可得∠CDB=∠BED,
∴∠CBD=∠CDB.
如图,连接OD.
∵OD=OB,OC=OC,
∴Rt△COD≌Rt△COB.
∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.
∴OC⊥BD.
又DE⊥BD,∴DE∥OC.
∴∠BED=∠BOC.∴∠CBD=∠BOC.
∴与∠CBD相等的角共有3个.
答案:C
,AD切☉O于点F,FB,FC为☉O的两条弦,请列出图中所有的弦切角.
答案:∠AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB
,AB是☉O的直径,直线CE与☉O相切于点C,AD⊥CE于点D,若AD=1,∠ABC=30°,则☉O的面积是.
解析:∵DE是切线,∴∠ACD=∠ABC=30°.
又AD⊥CD,∴AC=2AD=2.
又AB是直径,∴∠ACB=90°.
又∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,
∴OA=12AB=2.
∴☉O的面积为S=π·OA2=4π.
答案:4π
,AB是☉O的直径,PB,PE分别切☉O于点B,C,若∠ACE=40°,则∠P=.
解析:如图,连接BC,
则∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°.
又∠ACE=40°,则∠ABC=40°.
所以∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°,
∠ACP=180°-∠ACE=140°.
又AB是☉O的直径,则∠ABP=90°.
又四边形ABPC的内角和等于360°,
所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.
所以∠P=80°.
答案:80°
,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O于点E,C,:BE·BF=BC·BD.
分析要证BE·BF=BC·BD,只需证BEBD=BCBF,即证明△BEC∽△∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作☉O的切线,构造弦切角.
证明如图,过点B作☉O的切线BG,则AB⊥BG.
又AD是☉O的切线,
∴AD⊥AB,BG∥AD.
∴∠GBC=∠BDF.
又∵∠GBC=∠BEC,
∴∠BEC=∠BDF.
又∠CBE=∠DBF,∴△BEC∽△BDF.
∴BEBD=BCBF.∴BE·BF=BC·BD.
★,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线MN切☉O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.
求证:(1)△ABE≌△ACD;
(2)BE=BC.
分析(1)很明显∠ABE=∠ACD,只需证明∠BAE=∠CAD,转化为证明∠BAE=∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)转化为证明∠BEC=∠ECB.
证明(1)∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN.
又∠BAE=∠CDB,
∴∠BAE=∠DCN.
又直线MN是☉O的切线,
∴∠DCN=∠CAD.∴∠BAE=∠CAD.
又∠ABE=∠ACD,AB=AC,
∴△ABE≌△ACD.
(2)∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,
∴∠EBC=∠BDC.∴CB=CD.
∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE,
∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC.
又AB=AC,∴∠ABC=∠ECB.
∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC.