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复
习
目
标
，及数量积的运算
.
自
学
指
导
知
识
梳
理
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，
则他们的数量积可记作 .
特殊地：①零向量与任一向量的数量积为 _.
②两向量的夹角为锐角时，a·b . 反之成立吗？
③两向量的夹角为钝角时，a·b . 反之成立吗？
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于
3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝ ＝
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔
(3)当a与b同向时，a·b＝
当a与b反向时，a·b＝ ，a·a＝a2，|a|＝
(4)cos θ＝ ；
(5)|a·b|_ |a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1) (交换律)；
(2) λ为实数)；
(3)
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ ，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝ .
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b⇔
（4）cos θ＝ ；
自
学
检
测
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量． ( )
(3)△ABC内有一点O，满足＋＋＝0，且·＝·，则△ABC一定是等腰三角形． ( )
(4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形． ( )
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]． ( )
(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－或λ>0. ( )
2．(2012·陕西)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( ) A. B. C．0 D．－1
3．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( ) A．150° B．90° C．60° D．30°
4．在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为 ( )
A．1 B．3 C．5 D．9
5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．
合
作
探
究
探究（一）平面向量数量积的运算
例1 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于 ( )
A．－16 B．－8 C．8 D．16
(2)(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
合
作
探
究
已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
探究（二）求向量的夹角与向量的模
例2 (1)(2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)(2013·山东)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
(1)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D.
(2)已知向量a＝(1，)，b＝(－1,0)，则|a＋2b|等于 ( )
A．1 B. C．2 D．4
课
堂
小
结
本节课收获：
？
？
？
自
查
反
馈
表
自查反馈表（掌握情况可用A、好 B较好 C一般 ）
学习目标达成情况
习题掌握情况
学习目标
达成情况
习题题号
掌握情况
目标1
自学检测1——4
目标2
探究（一）
目标3
探究（二）
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
B
C
A
D
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•
•
•
•
当
堂
检
测
1．(2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b |等于 ( )
A. B. C．2 D．10.
2．向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为 ( )
A．(－7,8) B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6)
3．(2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
4．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．
5．已知向量a＝(4,5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈(0，)，a⊥b，求：
(1)|a＋b|； (2)cos(α＋)的值．
课
后
作
业
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于 ( )
A. B. C. D.
2．(2012·天津)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈·＝－2，则λ等于 ( )
A. B. C. D．2
3．(2013·湖南)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ( )
课
后
作
业
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
4．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为 ( )
A．1 B．2 C. D．3
5．(2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
5．已知向量p＝(2sin x，cos x)，q＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝p·q.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，
求sinA+cosB的取值范围
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)(0≤θ≤)．
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.