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2025/5/2
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掌握用极坐标对圆环或圆筒均布压力、压力隧洞、圆孔孔口应力集中、半平面体在边界上受集中力或受分布力时的解答。
掌握极坐标系中平面问题按应力求解的方法；
本章重点
了解极坐标系中与直角坐标系中的基本方程的相似之处和不同之处；
掌握在极坐标系中基本方程的建立 ；
第四章 平面问题的极坐标求解
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”
1极坐标中的平衡微分方程
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建立模型
在区域 A 的任一点P（ρ，φ），取出一个微分体，建立的坐标系如图4-1所示。
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图 4- 1
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第四章 平面问题的极坐标求解
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（1）在极坐标中，ρ从原点出发，以向外为正；而φ以 x轴正向到 y轴正向的转向为正；
（2）应力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负；
（3）微分体上的体力为 和 ，表示于微分体的中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正，反之为负。
第四章 平面问题的极坐标求解
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由 可得
由 可得
列平衡方程求解
第四章 平面问题的极坐标求解
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化简以上两式，由于 微小，可以把
另外在上式中，分别出现了一、二、三阶微量，其中一阶微量互相抵消，二阶微量保留，而将更高阶的三阶微量略去。化简可得：
01
（4-1）
02
第四章 平面问题的极坐标求解
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直角坐标与极坐标比较
在（4-1）的第一式中，前两项与直角坐标的相似；而 项是由于正ρ面的面积大于负ρ面而产生的， 是由于正负φ面上的正应力在通过微分体中心的ρ方向有投影而引起的。
在式（4-1）的第二式中，前两项也与直角坐标的相似；而 是由于正ρ面面积大于负ρ面而产生的； 是由于正负φ面上的切应力在通过微分体中心的φ方向有投影而引起的。由于 我们仍将这两个切应力只作为一个未知函数处理。
第四章 平面问题的极坐标求解
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极坐标中的几何方程及物理方程
几何方程的推导
建立坐标系
在区域内任取一点P（ρ，φ）作两个沿正标向的微分线段PA=dρ和PB =ρdφ，图4-2所示。
图 4- 2
第四章 平面问题的极坐标求解
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推导几何方程分为两步：一步考虑只有径向位移 的情形；第二步再考虑只有环向位移 的情形。
微分体只发生径向位移
设变形后，P点的位移分量为 则A点相对于P点，要计入由于坐标增量 而引起的增量，位移分量应为
B点相对于P点，要考虑由dφ而引起的增量，位移分量应为 ，如图4-2（a）所示。
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又由于图4-2（a）中的β角很小，以 ，于是 。由此，我们得到：
PA 线段的线应变 ，转角α=0；
PB 线段的线应变 ，转角：
注： 是极坐标中才有的，表示由于径向位移而引起的环形线段的伸长应变。
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微分体只发生环向位移
和 见图4-2（b）。同样考虑 PA 的转角α是微小的，我们可以得出：
转角：
微分线段 变形后成为 ， 。变形后P点的环向位移 ，由于坐标的增量 的位移分别为
PA 的线应变：
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