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专题09 圆锥曲线
一．基础题组
1.【 2025天津，文6】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲
线的渐近线的斜率为 （ ）
（A）2 （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】双曲线的两条渐进线是：。根据题意：，，从而，
本题答案选C
2.【 2025天津，文8】椭圆的中心为点它的一个焦点为相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
3.【 2025天津，文7】设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
2
Ｃ． Ｄ．
【答案】D
4.【 2025天津，文7】设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．
5.【 2025天津，文4】设双曲线(a＞0,b＞0)的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )
A. ＝±2x C. D.
【答案】C
【解析】由题意知:2b＝2,,则可求得,则双曲线方程为:,故其渐近线方程为.
6.【 2025天津，文13】已知双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为__________．
【答案】
3
【解析】
7.【 2025天津，文6】已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,,选B.
8.【 2025天津，文11】已知双曲线C1：(a＞0，b＞0)与双曲线C2：有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝__________，b＝__________．
【答案】1 2
【解析】∵C1与C2的渐近线相同，∴．
又C1的右焦点为F(，0)，∴，即a2＋b2＝5．
∴a2＝1，b2＝4，∴a＝1，b＝2．
9.【 2025天津，文11】已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．
答案
【解析】抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e＝
4
＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为.
10.【 2025天津，文6】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）
B. C. D.
【答案】A
【解析】A
考点：双曲线的渐近线
11. 【 2025高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.
【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.
12.【 2025高考天津文数】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
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【答案】A
【解析】
【考点】双曲线
【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：
(1)确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
二．能力题组
1.【 2025天津，文18】18.（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.
（Ⅰ）求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
【答案】(1) (2)
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2.【 2025天津，文19】已知椭圆a＞b＞0)，点P(，)在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】解：(1)因为点P(，)在椭圆上，故，可得．
于是，所以椭圆的离心率．
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得消去y0并整理得
．①
由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，而x0≠0，故
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，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4．
由(1)知，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5．
所以直线OQ的斜率．
3.【 2025天津，文18】设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】解：(1)设F(－c,0)，由，知.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.
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因为A(，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝.
由已知得＝8，
解得k＝.
4.【 2025天津，文18】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，=.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.
【答案】(1) (2)
【解析】
，因为点P在椭圆上，故，消可得，而点P不是椭圆的顶点，故，即点P的坐标为设圆的圆心为，则再由得，即所以所求椭圆的方程为
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试题解析：解(1)设椭圆右焦点的坐标为（c,0）， 由，可得，又，则所以椭圆离心率为 (2)由(1)知故椭圆方程为，设，解得，所以所求椭圆的方程为
考点：椭圆离心率，椭圆方程
三．拔高题组
1.【 2025天津，文22】抛物线的方程为，过抛物线上的一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点（三点互不相同），且满足．
（I）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（II）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；
（III）当时，若点的坐标为（1，－1），求为钝角时点的纵坐标的取值范围．
【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.
【解析】证明：（I）由于函数定义，对任意整数，有
（II）函数在R上可导， ①
令，得：
若，则，这与矛盾，所以。
当时， ②
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因此时的符号与时的符号相反
综合以上，得：的每一个根都是的极值点 ③
由得，当时，，即对于时， ④
综合 ③、④ ：对于任意 ，
由：和，得： ⑤
又：，
但时， ⑥
综合 ⑤、⑥ 得：
2.【 2025天津，文22】如图，双曲线的离心率为、分别为左、右焦
点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且
（I）求双曲线的方程；
（II）设和是轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线使得交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于轴。