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一、直线的倾斜角与斜率
【教材原题】课本85页例题1
例1 如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解:直线AB的斜率kAB＝＝；
直线BC的斜率kBC＝＝－；
直线CA的斜率kCA＝＝1.
由kAB>0及kCA>0知，
直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角．
【高考题或模拟题】
( 2025·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )
A．－1 B．－3 C．0 D．2
【答案】B
【解析】由＝＝y＋2，得：y＋2＝tan ＝－1.∴y＝－3.
( 2025·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－2,1)
【解析】k＝tan α＝＝.
∵α为钝角，∴<0，即(a－1)(a＋2)<0.
∴－2<a<1.
( 2025·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
【解析】 ∵kAC＝＝1，kAB＝＝a－3，
由于A、B、C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
【答案】4
对比分析：
：课本题、 2025岳阳模拟、 2025吴忠调研、 2025长春模拟共同考查的知识点是直线的倾斜角与斜率；课本题考查直线的倾斜角和斜率的概念，考查过两点的直线斜率的计算公式； 2025岳阳模拟、 2025吴忠调研考查由直线上两点及直线的倾斜角求参数； 2025长春模拟根据斜率公式判断三点共线、求参数．
2．考查的方式：课本题是解答题； 2025岳阳模拟是选择题； 2025吴忠调研、 2025长春模拟是填空题．
3．命题的思路：课本题、 2025岳阳模拟、 2025吴忠调研、 2025长春模拟通过对直线的倾斜角与斜率概念的考查，考查学生对过两点的直线斜率的计算公式的掌握情况，考查学生对直线的倾斜角和斜率的概念的理解程度．
4．进一步挖掘的价值：从近几年的高考试题来看，倾斜角与斜率几乎没有单独考查过，往往和直线方程、两直线平行与垂直的条件的利用等一起考查，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中、低档，考查学生的运算能力．
二、两条直线的位置关系
【教材原题】课本87页例题4
例4 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
解：如图：
AB边所在直线的斜率kAB＝－，
CD边所在直线的斜率kCD＝－，
BC边所在直线的斜率kBC＝，
DA边所在直线的斜率kDA＝.
因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
因此，四边形ABCD是平行四边形．
【教材原题】课本89页例题6
已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状．
分析：如图，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形．[来源:Z|xx|]
解：AB边所在直线的斜率kAB＝＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝＝2.
由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.
所以△ABC是直角三角形．
【高考题或模拟题】
( 2025·江西联考)已知直线l1过点A(－1，1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若l1∥l2，则a的值为( )
A．－2 B．2
C．0 D.
【解析】l1，l2的斜率分别为2，－a，由l1∥l2，可知a＝－2.
【答案】A
（ 2025高考辽宁卷文（理）数9）已知点，若为直角三角形，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【分析】，没有指名那个叫为直角，所以要多A，B，C角分别为直角进行讨论，利用斜率的定义、两条直线相互垂直的条件找出参数的关系．
【答案】C.
【解析】显然角O不能为直角（否则得不能组成三角形）；
若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；
若B为直角，则利用得，所以选C.
对比分析：
：课本87页例题4、 2025江西联考考查根据两条直线的斜率判定这两条直线的平行；课本89页例题6、 2025高考辽宁卷文（理）数9考查根据两条直线的斜率判定这两条直线的垂直； 2025高考辽宁卷文（理）数9考查利用斜率的定义、两条直线相互垂直的条件及分类讨论数思想求参数．
2．考查的方式：课本87页例题4、课本89页例题6是解答题； 2025江西联考、 2025高考辽宁卷文（理）数9是选择题．
3．命题的思路：课本87页例题4、 2025江西联考、课本89页例题6、 2025高考辽宁卷文（理）数9以两直线平行与垂直为主要考查点，考查斜率的求法及学生的运算能力．
4．进一步挖掘的价值：从近两年高考看，两条直线的位置关系是高考的热点，特别是两条直线平行和垂直的判定几乎每年都有涉及，题型既有选择题、填空题，又有解答题，多与其他知识点交汇命题，难度属中、低档，主要考查直线方程的求法、两直线平行与垂直的判定和应用，考查学生的运算能力．
三、直线的方程
【教材原题】课本98页例题5
例5 已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程．
解：经过点A(6，－4)，斜率等于－的直线的点斜式方程是y＋4＝－(x－6)．
化成一般式，得4x＋3y－12＝0.
注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．
【教材原题】课本98页例题6
例6 把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．
解：将原方程移项，得2y＝x＋6，两边除以2，得斜截式y＝x＋3.
因此，直线l的斜率k＝，－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6，即直线l在x轴上的截距是－、y轴的交点分别为A(－6,0)，B(0,3)，过点A，B作直线，就得直线l的图形．
如下图．
【高考题或模拟题】
( 2025·遵义高三第四次月考理)过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A. B.
【答案】D
【解析】若直线过原点，设直线方程为，把点代入得，此时直线为，即．若直线不经过原点，在设直线方程为，即．把点代入得，所以直线方程为，即，所以选D.
( 2025·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )．
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
【解析】由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.
【答案】 A
（ 2025天津市高三第三次月考理）倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即，选D.
（ 2025山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线的斜截式方程为，即直线的斜率，所以，选D.
对比分析：
：课本98页例题5、课本98页例题6、 2025遵义高三第四次月考理、 2025泰安一模、 2025天津市高三第三次月考理、 2025山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理共同考查的知识点是直线的方程；课本98页例题5考查直线的点斜式方程的求法及把点斜式方程化一般式方程；课本98页例题6考查直线的一般式方程化为斜截式方程； 2025遵义高三第四次月考理、 2025泰安一模考查待定系数法求直线方程； 2025天津市高三第三次月考理考查直线斜截式方程求法； 2025山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理考查根据直线的一般方程求直线的倾斜角．
2．考查的方式：课本98页例题5、课本98页例题6是解答题； 2025遵义高三第四次月考理、 2025泰安一模、 2025天津市高三第三次月考理、 2025山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理是选择题．
3．命题的思路：课本98页例题5、课本98页例题6、 2025遵义高三第四次月考理、 2025泰安一模、 2025天津市高三第三次月考理、 2025山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理通过对直线的方程的考查，考查学生对五种形式直线方程的掌握程度，直线方程五种表达形式的转化能力，待定系数法求直线方程能力．
4．进一步挖掘的价值：从近几年的高考试题来看，求直线方程、两条直线的位置关系是高考考查的重点，直线方程的点斜式、斜截式高单独出现的次数不是太多，多与其它知识结合考查，主要考查学生基本运算能力，数形结合能力，分类讨论思想等，预测近几年高考将以直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式主要考点，重点考查学生的运算能力，分析解决问题能力，转化划归能力．
四、直线的交点坐标与距离公式
【教材原题】必修2课本103页例题2
例2 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
解 (1)解方程组，得
(2)解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
(3)解方程组
①×2得6x＋8y－10＝，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
【教材原题】必修2课本107页例题6
例6 已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求三角形ABC的面积．
解：如图，设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.
|AB|＝＝2，
AB边上的高h就是点C到AB的距离．
AB边所在直线的方程为＝，[来源:]
即x＋y－4＝0.
点C(－1,0)到x＋y－4＝0的距离为h＝＝，
因此，S△ABC＝×2×＝5.
小结：(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用．
【高考题或模拟题】
（ 2025高考江苏13）平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ▲ .
【分析】根据是函数图像上一动点，设出点P坐标根据两点间距离公式列出关于的函数关系式，换元，转化为二次函数求最值问题，从而求得参数值．
【解析】设，则，因为x>0,设，则，此时 ，
当时，在是增函数，
，即解得或（舍去）．
当时，当t=a时，有最小值为8，此时，，解得，．
综上所述的值为-1或．[来源:Z,xx,]
【答案】-1，
( 2025·广州模拟)已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】 设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2，且S△ABC＝2.
则△ABC中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.
由点到直线的距离公式得＝.[来源:学科网]
∴t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2，
这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
【答案】 A
对比分析：
：必修2课本103页例题2考查的知识点是直线的交点坐标、两直线位置关系；必修2课本107页例题6考查的知识点是两点间的距离公式与点的直线的距离公式、直线方程的两点式、三角形面积公式； 2025高考江苏13考查的是两点间的距离公式、函数求最值、分类讨论思想； 2025广州模拟考查的知识点是两点间的距离公式与点的直线的距离公式．
2．考查的方式：必修2课本103页例题2、必修2课本107页例题6是解答题； 2025高考江苏13是填空题； 2025广州模拟是选择题．
3．命题的思路：必修2课本103页例题2、必修2课本107页例题6、 2025高考江苏13、 2025广州模拟通过考查直线的交点坐标与距离公式，考查学生对解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式的掌握程度，考查学生类讨论、数形结合的能力．
4．进一步挖掘的价值：从近两年的高考试题来看，点到直线的距离、两点间的距离等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．主要考查对概念的理解及运算能力，在知识交汇点处命题，与其他知识结合命题，距离公式作为工具与和函数、不等式、向量圆锥曲线结合考查，注重考查分类讨论、数形结合等思想方法．