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一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿
2025年全国中考数学压轴题精选精析
1.（ 2025年四川达州）23、（9分）如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.
(1)求a的值及直线AC的函数关系式；
(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.
（ 2025年四川达州23题解析）解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-2 ……………………………………………………1分
∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b
6=-2k+b解得 k=-2 b=2
∴直线AC为y=-2x+2 ……………………………………………………3分
（2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）………………4分
∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92
=-2a+122+92
∴当a=-12时，PM的最大值为92 ……………………………………6分
②M1（0，6）…………………………………………………………7分
M2-14，678 ……………………………………………………………9分
2.（ 2025年四川成都）28．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。
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(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)过点A作x轴的垂线，，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
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（ 2025年四川成都28题解析）
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3.（ 2025年四川凉山州）26．如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；
y
x
B
A
O
D
（第26题）
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．
（ 2025年四川凉山州26题解析）解：（1）已知抛物线经过
解得
所求抛物线的解析式为． 2分
（2），，[来源:]
可得旋转后点的坐标为 3分
当时，由得，
可知抛物线过点
将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．
平移后的抛物线解析式为：． 5分
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（3）点在上，可设点坐标为
将配方得，其对称轴为． 6分
y
x
C
B
A
O
N
D
B1
D1
图①
①当时，如图①，
此时
点的坐标为． 8分
y
x
C
B
A
O
D
B1
D1
图②
N
②当时，如图②
同理可得
此时
点的坐标为．
综上，点的坐标为或． 10分
4.（ 2025年四川眉山）24．如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
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⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。
（ 2025年四川眉山24题解析）
（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得
∴抛物线的解折式为…（2分）
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为
即 E点的坐标（，）又∵点E在直线上
∴ 解得（舍去），
∴E的坐标为（4，3）……（4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0） 易知D点坐标为（－2，0）
由Rt△AOD∽Rt△POA得
即，∴a＝ ∴P1（，0）……（5分）
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）……（6分）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）
由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE
由得 解得，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）……（8分）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）[来源:学科
（3）抛物线的对称轴为…（9分）∵B、C关于x＝对称 ∴MC＝MB
要使最大，即是使最大
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．（10分）[来源:学科网ZXXK]
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易知直线AB的解折式为∴由 得 ∴M（，－）……………………………………………………………………………………（11分）
5.（ 2025年四川绵阳）25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．
x
O
E
B
A
y
C
F
x
O
E
B
A
y
C
F
x
O
E
B
A
y
C
F
（ 2025年四川绵阳25题解析）（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE．
∴ ∠EGO = 45°，从而 ∠AGE = 135°．
由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135°，∴ ∠AGE =∠EBF．
∵ ∠AEF = 90°，∴ ∠FEB +∠AEO = 90°．
在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90°，
∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．
（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．[来源:学科网ZXXK]
由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴ FH = OE，EH = OA．
∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．
由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°，∴ BH = FH = a．
又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，
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x
O
E
B
A
y
C
F
G
∴ EH = m－a + a = m．
又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．
（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．
H
x
O
E
B
A
y
C
F
由 ∠AEF = 90°，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，
∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，
且，即，
整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．
把h =（t + 1）a 代入得 ，
即 m－a =（t + 1）（n－a）．
而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．
化简得 ta = n，解得．
∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．
6.（ 2025年四川南充）21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
y
x
O
C
D
B
A
3
3
6
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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（ 2025年四川南充21题解析）解：（1）设正比例函数的解析式为，
因为的图象过点，所以
，解得．
这个正比例函数的解析式为． （1分）
设反比例函数的解析式为．
因为的图象过点，所以
，解得．
这个反比例函数的解析式为． （2分）
（2）因为点在的图象上，所以
，则点． （3分）
设一次函数解析式为．
因为的图象是由平移得到的，
所以，即．
又因为的图象过点，所以
，解得，
一次函数的解析式为． （4分）
（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．