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2025年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）（ 2025•四川）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）
A．
∅
B．
{2}
C．
{﹣2，2}
D．
{﹣2，1，2，3}
考点：
交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
找出A与B的公共元素即可求出交集．
解答：
解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，
∴A∩B={2}．
故选B
点评：
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（ 2025•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A．
棱柱
B．
棱台
C．
圆柱
D．
圆台
考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：
解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故选D．
点评：
考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
3．（5分）（ 2025•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
2
A．
A
B．
B
C．
C
D．
D
考点：
复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．
解答：
解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．
所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．
故选B．
点评：
本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．
4．（5分）（ 2025•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．
￢p：∃x∈A，2x∈B
B．
￢p：∃x∉A，2x∈B
C．
￢p：∃x∈A，2x∉B
D．
￢p：∀x∉A，2x∉B
考点：
命题的否定；特称命题．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
解答：
解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：
￢p：∃x∈A，2x∉B．
故选C．
点评：
本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
5．（5分）（ 2025•四川）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（ ）
A．
B．
2
C．
D．
1
考点：
抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离．
解答：
解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），
∴点F（2，0）到直线的距离d==1．
故选D．
3
点评：
熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．
6．（5分）（ 2025•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
解答：
解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
点评：
本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
7．（5分）（ 2025•四川）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
4
A．
B．
C．
D．
考点：
频率分布直方图；茎叶图．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．
解答：
解：根据题意，频率分布表可得：
分组
频数
频率
[0，5）
1
[5，10）
1
[10，15）
4
…
…
…
[30，35）
3
[35，40）
2
合计
100
进而可以作频率直方图可得：
故选：A．
点评：
本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用．
5
8．（5分）（ 2025•四川）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（ ）
A．
48
B．
30
C．
24
D．
16
考点：
简单线性规划．菁优网版权所有
专题：
计算题；不等式的解法及应用．
分析：
先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．
解答：
解：满足约束条件的可行域如图所示
在坐标系中画出可行域，
平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，
则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．
经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，
则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．
z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．
故选C．
点评：
借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
9．（5分）（ 2025•四川）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
考点：
椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒kAB=kOP⇒b=c，从而可得答案．
解答：
解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），
则+=1，
∴y0=，
∴P（﹣c，），
又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，
∴kAB=kOP，即==，
∴b=c．
设该椭圆的离心率为e，则e2====，
∴椭圆的离心率e=．
故选C．
点评：
本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5分）（ 2025•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
A．
[1，e]
B．
[1，1+e]
C．
[e，1+e]
D．
[0，1]
考点：
函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；函数的性质及应用．
分析：
根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得ex=x2﹣x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．
解答：
解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）
其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
7
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据，化简整理得ex=x2﹣x+a
记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A
点评：
本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）（ 2025•四川）lg+lg的值是 1 ．
考点：
对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
直接利用对数的运算性质求解即可．
解答：
解：==1．
故答案为：1．
点评：
本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．
12．（5分）（ 2025•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ= 2 ．
考点：
平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
依题意，+=，而=2，从而可得答案．
9
解答：
解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴+=，
又O为AC的中点，
∴=2，
∴+=2，
∵+=λ，
∴λ=2．
故答案为：2．
点评：
本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
13．（5分）（ 2025•四川）已知函数在x=3时取得最小值，则a= 36 ．
考点：
函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
专题：
导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
分析：
由题设函数在x=3时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．
解答：
解：由题设函数在x=3时取得最小值，
∵x∈（0，+∞），
∴得x=3必定是函数的极值点，
∴f′（3）=0，
f′（x）=4﹣，
即4﹣=0，
解得a=36．
故答案为：36．
点评：
本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．
14．（5分）（ 2025•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是 ．
考点：
二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．菁优网版权所有
专题：
压轴题；三角函数的求值．
分析：
已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
9
解答：
解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
∴cosα=﹣，sinα==，
∴tanα=﹣，
则tan2α===．
故答案为：
点评：
此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
15．（5分）（ 2025•四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 （2，4） ．
考点：
一般形式的柯西不等式．菁优网版权所有
专题：
压轴题；直线与圆．
分析：
如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．
解答：
解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，
P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），
∴AC，BD的方程分别为：，，
即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．
解方程组得Q（2，4）．
故答案为：（2，4）．
10
点评：
本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）（ 2025•四川）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．
考点：
等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求
解答：
解：设等比数列的公比为q，
由已知可得，a1q﹣a1=2，4
联立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0
∴或q=1（舍去）
∴=
点评：
本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力
17．（12分）（ 2025•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
考点：
两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的含义与物理意义；正弦定理．菁优网版权所有