测量误差与数据处理(2)公开课获奖课件赛课一等奖课件.ppt

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武汉大学出版社
1月
第2章 误差传播与最小二乘法原理
方差与协方差传播律
协方差：描述两个随机变量之间的误差有关关系。
，x和y不有关，互相独立，误差不有关
，x和y是有关的，不独立
方差与协方差传播律
随机向量及其协方差阵
n维随机向量
方差—协方差阵
非对角线元素
对角线元素
方差与协方差传播律
协方差传播律
观测值线性函数的方差
特例：当随机向量X中的各个分量两两互相独立时，它们之间的协方差为0，方差阵为对角阵，此时z的方差上式变为
（）
方差与协方差传播律
【】用长度为L的钢尺量距，持续丈量了N个尺段。已知每一尺段的距离都是独立观测值，且其中误差均为m，求全长S的中误差。
＊解：由于共丈量了N个尺段，故全长
由（）知， ，即 。
呵，本来是这样啊！
方差与协方差传播律
【】设有观测值L1、L2和L3的函数
已知其方差分别为 ， ， 两两之间的协方差分别为 ， ， 。求函数F的方差。
＊解：由方差阵的定义知，
观测值的方差阵为：
F的矩阵形式
函数F的方差
方差与协方差传播律
非线性函数的方差
问题：已知变量x的方差和协方差，求函数
的方差。
关键：将非线性函数化为线性函数。
措施：将函数在 处展开为泰勒级数。
令：
则有：
方差与协方差传播律
非线性函数的方差
函数 的全微分
或写成
由于 ，x与dx具有相似的方差，因而z与dz
方差相似。因此，对于非线性函数线性化，也可以先列出函数式，然后对其求全微分。
方差与协方差传播律
【】设有观测向量 ，已知其方差阵为
求 的函数 当
L1=2，L2=3，L3=4时的方差。
＊解：因函数F是个非线性函数，求其全微分
方差与协方差传播律
误差传播律在测量中的应用
水准测量的精度
已知每站高差测量中误差 ，求测段AB中误差
A、B两点间的总高差：