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2023年下学期期末考试试卷
高二数学
时量：120分钟分值：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
，则（ ）
A. B. C. D.
，则集合A的子集的个数为（ ）
，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
，则
，则
，则
，则
4.（自编作业原题）在等差数列中，，其前n项之和为，若，则（ ）.
5.（自编作业原题）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪），三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
6.（自编作业原题）已知圆，直线，l与圆C相交于A､B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
，，，则（ ）
A. B.
C. D.
，分别是双曲线的左､右焦点，O为坐标原点，过左焦点作直线与
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圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，，，部分选对的得2分，有选错的得0分.
“校园安全”知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
，下列说法正确的是（ ）
，下列命题正确的是（ ）
，则，，仍为等差数列
，则，，仍为等比数列
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，则为等差数列
，则为等差数列
，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P､Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A.
B.
，直线的斜率不存在
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（自编作业原题）函数在点处的切线方程为________.
，则________.
15.（自编作业原题）某高中计划2024年寒假安排甲､乙､丙､丁､戊共5名学生志愿者到A､B､C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________.
，则实数a的取值范围是________.
四､解答题：本题共6小题，，证明过程或演算步骤.
17.（自编作业原题）设a为实数，函数.
（1）求的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线与x轴仅有一个交点？
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，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点F是棱的中点，点E是棱上靠近点D的三等分点.
（1）证明：；
（2）求点B到平面的距离.
19.（联考复习题改编）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若的中线长为，求面积的最大值.
，对任意正整数n，有，且.
（1）求和的值，并猜想的通项公式；
（2）证明第（1）问猜想的通项公式；
（3）设，数列的前n项和为，求证：.
､椭圆的左､右顶点为A，B，上顶点K满足.
（1）求C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于M，，直线和直线相交于点Q，：是定值.
，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.
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雅礼教育集团2023年下学期期末考试试卷
高二数学
时量：120分钟分值：150分
命题人：李云皇､陈智 审题人：彭喜､李云皇､郝楠楠
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【详解】因为，所以.
2.【答案】C
【详解】，所以集合的子集的个数为4.
3.【答案】D
【详解】选项，如图1，满足，但不平行，错误；
错误，如图2，满足，但不平行，错误；
选项，如图3，满足，但不平行，错误；
选项，若，由线面平行的判断定理可得正确.
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4.【答案】B
5.【答案】B
【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有种，
②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有种，
所以总共有种.
6.【答案】C
【详解】易知直线过定点，当弦长最短时，
知圆心，所以过点的直径所在直线的斜率，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.
7.【答案】C
【详解】易知，
构造函数，则；
令，解得，
当时，，当时，；
可得在上单调递减，在上单调递增；
又易知，所以，即.
8.【答案】A
【详解】为圆上的点，，
是的中点，
又是的中点，，且，
又，
是圆的切线，，
在Rt中，又有，
，故双曲线的离心率为.
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二､多选题：本题共4小题，每小题5分，，，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】AD
【详解】由，可得，故A正确；
前三个矩形的面积和为，
所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
10.【答案】BC
【详解】当时，，当时，，所以函数在上先减后增，故A错误；
当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；
因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，所以函数在处取得极大值，故C正确；
不确定是否有最大值，故不正确.
11.【答案】ACD
【详解】设等差数列的公差为，则，
，
同理可得，所以，
所以仍为等差数列，故A项正确；
取数列为，当为0时，不能成等比数列，故B项不正确；设等差数列的公差为，则，
于是，所以为等差数列，故C项正确；
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若设等比数列的公比为，依题意，则，D项正确.
12.【答案】AD
【详解】选项，若一条直线的斜率不存在时，则另一条直线斜率为0，
此时与抛物线只有1个交点，不合要求，故两直线斜率均存在且不为0，
由题意得，设直线方程为，
联立与得，，
易知，设，则，
则，
则，A正确；
选项，在选项基础上得到，
由于两直线均过焦点且垂直，可得，
故，B不正确；
C选项，由B选项可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为错误；
选项，由选项可知，点横坐标为，
故，所以，
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由于两直线均过焦点且垂直，可得，
则
，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
当时，取得最小值，此时，
故当最小时，直线的斜率不存在，正确.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
14.【答案】
【详解】由得，
所以，两边平方得，解得.
16.【答案】
【详解】，
令，显然函数单调递增，
所以函数有2个零点，等价于有两个根，即有两个根，
设过原点且与曲线相切的直线方程为，切点为，
因为，所以，解得，得切线方程为，
如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当，即时有两个交点，即
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故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，､证明过程或演算步骤.
17.【解答】解：（1）.令，则或.
当变化时，的变化情况如下表：
1
+
0
-
0
+
极大值
极小值
所以的极大值是，极小值是.
（2）函数，
由此可知，取足够大的正数时，有取足够小的负数时，有，曲线与轴至少有一个交点.
由（1）知.
曲线与轴仅有一个交点，或，
即或或
当时，曲线与轴仅有一个交点.
18.【详解】（1）底面底面，所以，