湖南省2023～2024学年高二数学下学期寒假检测开学考试[含答案].pdf

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2024 年高二寒假作业检测
数学
时量：120 分钟满分：150 分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1．设集合 M x 2  x  2，N 0,1,2,3，则M  N  （ ）
A． x 2  x  2 B． 0,1
C． 0,1,2 D． x 0  x  2
1
2．若 a 1，则a  的最小值是（ ）
a 1
A．2 B． a
2 a
C． D．3
a 1
3．已知 3、4、5、7、 m 五个数据，均值x  5，若再增加2、8 两个数后，这七个数据的均值和方差应该是
（ ）
A．5，2 B．5，3
C．5，4 D．6，2
 π  1  π 
4．已知 sin    ，则sin2    （ ）
 12  3  3 
2 2
A．  B．
9 9
7 7
C．  D．
9 9
★5．设aZ ，且0  a 13，若512020  a 能被13 整除，则a 的可能取值为（ ）
A．0 B．1
C．11 D．12
★6．甲、乙两人要在一排 7 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（
）
A．6 种 B．12 种
C．15 种 D．30 种
 
7．已知抛物线 C 的焦点为F ，准线为l ，点A在C 上，点B 在l 上．若AF  BF  4 ，
  
AF BF  BA 0，则F 到l 的距离等于（ ）
1 / 11 : .
A．1 B．2
C．3 D．4
 1   1 
8．已知函数 f x及其导函数f x定义域均为R ，满足f   x f   x  4x ，且f x  2为奇函
 2   2 
19 
数，记g x f x，其导函数为gx，则g   g2024 （ ）
 2 
A．0 B．1
C． 2 D．2
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
x  2, x  0,

1 3
9． f x  ,0  x  2, 且f a ，则实数a 的值为（ ）
x 4
x2  4x 3, x  2,

5 3
A．  B．
4 2
4 5
C． D．
3 2
x2 y2
★10．关于曲线  1，下列叙述正确的是（ ）
5 m m 1
A．当 m  2 时，曲线表示的图形是一个焦点在x 轴上的椭圆
B．当 m  1时，曲线表示的图形是一个焦点在x 轴上的双曲线，且焦距为4
C．当 1 m  4 时，曲线表示的图形是一个椭圆
D．当 m  5或m 1时，曲线表示的图形是双曲线
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若 x, yR ，x  yi  2 2i ，则x  y  2
2 2
B．若复数 z1, z2满足z1  z2  0，则z1  z2  0
2 2
C．若复数 z 为纯虚数，则z  z
D．若复数 z 满足z 1  2 ，则z i 的最大值为2 2
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
★12．已知等差数列an中，a2  5，a6  21，若在数列an每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也
是一个等差数列，则新数列的第41 项为______．
13．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前 262～公元前 190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要
2 / 11 : .
成果其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数  1的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗
PO 1
尼斯圆，已知点O0,0，，A3,0，动点Px, y满足 ，则点P 的轨迹与圆
PA 2
2 2
C :x 1  y 1的公切线的条数为______．
 log2 x , x  0,

14．已知函数 f x  5 若方程f x a恰有四个不同的实数解，分别记
 3sinπxcosπx,  x  0,
 3
为x1, x2, x3, x4，则x1  x2  x3  x4的取值范围是______．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15． （本题满分 13 分）
在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且b  csin B sinC asin A3bsinC ．
（1）求角 A的大小；
（2）若 a  6 ，且△ABC 的面积为3 ，求△ABC 的周长．
16． （本题满分 15 分）
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，
ADC  60，PA  AD  4 ，E 为AD 的中点．
（1）求证：平面 PCE 平面PAD ；
（2）求二面角 A PD C 的平面角的正弦值．
17． （本题满分 15 分）
已知函数 f x  ex ln x 1．
 
（1）求曲线 y  f x在点1, f 1处的切线方程；
（2）求证： f x1．
18． （本题满分 17 分）
x2 y2
设 F1,F2 分别是双曲线Γ: 2  2 1a  0,b  0的左、右两焦点，过点F2的直线
a b
3 / 11 : .
l : x  my t  0m,t R与Γ 的右支交于M ，N 两点，Γ 过点2,3，且它的虚轴的端点与焦点的距离
为7 ．
（1）求双曲线 Γ 的方程．
（2）当 MF1  F2F1 时，求实数m 的值；
 1 
（3）设点 M 关于坐标原点O的对称点为P ，当MF2  F2N 时，求△PMN 面积S 的值．
2
19． （本题满分 17 分）
某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行 10 轮，若在 10 轮游戏中，参与者获胜 5 次就送 2000 元礼券，并且游戏结束；否则继续游戏，直至
10 轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是
1 1
，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败
2 2
2 n
则下一次成功的概率是．记消费者甲第一n 次获胜的概率为pn ，数列pn的前n 项和 pn  Tn ，且
3 i1
Tn 的实际意义为前n 次游戏中平均获胜的次数．
（1）求消费者甲第 2 次获胜的概率 p2 ；
 4
（2）证明： pn  为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
 7
长郡中学 2024 年高二寒假作业检测
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C D D B B D ACD AD AD
一、二、选择题
1．B【解析】 M x 2  x  2，N 0,1,2,3，M  N 0,1，故选B．
1 1 1
2．D【解析】由题意，得 a   a 1 1 2 a 1 1 3，当且仅当a 1时，取等号，
a 1 a 1 a 1
1
故a  的最小值为3．故选 D．
a 1
3 45 7  m
3．C【解析】因为 3、4、5、7、 m 五个数据，均值x  5，所以 5，故m  6，则七个数
5
3 45 7  6 28
据的均值为 5，七个数据的方差为
7
2 1  2 2 2 2 2 2 2 1
s  35 45 55 7 5 65 25 85  28  4 ．故选C．
7   7
4 / 11 : .
π π 1
4．D【解析】设    ，则   ，sin  ，从而
12 12 3
 π    π  π  π  2 7
sin2    sin 2     sin2    cos2 1 2sin   ．故选D．
 3    12  3  2  9
2020 2020 0 2020 1 2019 1
5．D【解析】当能被 13 整除时，51  a  521  a  C202052  C202052 1 
r 2020r r 2020 2020
C202052 1  C2020 1  a，
0 2020 1 2019 1 r 2020r r 2019
C202052  C202052 1  C202052 1  C2020521能被13 整除，且
512020  a 能被13 整除，