湖南省浏阳市2023～2024学年高二数学上学期期末质量监测试卷[含答案].pdf

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2023 年下学期期末质量监测试卷
高二数学
（时量：120 分钟总分：150 分考试形式：闭卷）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 ，选出符合题目的一项）
1
x  y   0
1. 已知直线的方程为 2 ，则该直线的倾斜角为（）
π π 3π 5π
A. 6 B. 4 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
1 π
x  y   0
【详解】直线 2 的斜率k 1，所以该直线的倾斜角为4 .
故选：B
2. “m  4 ”是“2， m ，8 成等比数列”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列求出 m，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
m 2
【详解】2， ，8 成等比数列，等价于m  28  m  4 ，
所以“ m  4 ”是“2， m ，8 成等比数列”的充分不必要条件.
故选：A
{an} a2  a7 18 {an} S8
3. 已知等差数列 中，，则数列的前8 项和 等于（ ）
A. 42 B. 50 C. 72 D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.
{an} a2  a7 18
【详解】根据题意，等差数列 中，，
1 / 21 : .
(a1  a8)8 (a2  a7)8 188
S8     72
则 2 2 2 ．
故选：C
     
ABCD  A1B1C1D1 AB  a, AD  b, AA1  c,O D1B 的
4. 如图，在平行六面体 中, 为 中点，则用向量
   
a,b,c 可表示向量DO 为（）
1  1  1  1  1  1 
a  b  c a  b  c
A. 2 2 2 B. 2 2 2
1  1  1  1  1  1 
a  b  c  a  b  c
C. 2 2 2 D. 2 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.
 1  1  1  1   1  1  1 
DO  DD1  DB  AA1  AB  AD AB  AD  AA1
【详解】由题意可得： 2 2 2 2 2 2 2
1  1  1 
 a  b  c
2 2 2 .
故选：B.
 
l a  3,2,1    1,2,1 l 
5. 已知直线 的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（）
A. l  B. l//
C. l与 相交但不垂直D. l// 或l  
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断即得.
 
l a  3,2,1    1,2,1
【详解】由直线 的方向向量是，平面的法向量是，
2 / 21 : .
   
得a   31 2211 0 ，即a   ，
所以l// 或l   .
故选：D
2 2
6. 作圆 C :(x  2)  (y 1)  25上一点P(2,4)处的切线l，直线m:ax 3y  0 与直线l平行，则直线
l与m 的距离为（）
8 12
A. 4 B. 2 C. 5 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】判断P 点在圆C 上，求出直线CP 的斜率，确定出切线的斜率，求出l的方程，得出a  4，根据
直线m 与直线l平行，利用平行线的距离公式求出l与m 的距离即可.
2 2
P C 2 2 41  25 P
【详解】将点 代入圆的方程：，所以点在圆上，
41 3
C 2,1 kCP   
  CP 2 2 4
因为：圆心，所以直线的斜率：，
1 4 4
k   y  4  x  2
所以：切线l的斜率为：kCP 3 ，l的方程为：3 ，即：4x 3y  20  0，
又因为：直线l与直线m 平行，
所以：a  4.
200
d   4
32  42
所以：直线l与直线m 的距离：，故A 项正确.
故选：A.
x2  4y B4,3
7. 已知点 P 是抛物线上的一个动点，则点P 到点的距离与P 到该抛物线的准线的距离之
和的最小值为（）
17 9
A. 2 B. 3C. 2 5 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，确定点B 与抛物线的位置关系，再借助抛物线定义求解即得.
3 / 21 : .
x2  4y y  3 | x | 2 3  4 B4,3 x2  4y
【详解】抛物线 中，当时，，则点在抛物线外，
x2  4y F(0,1) y  1 y  1 Q
抛物线的焦点，准线，过P 作直线的垂线，垂足为，连接PF ，
2 2
| PQ || PF | | PB |  | PQ || PB |  | PF || BF | 4  (31)  2 5
则，于是，
2
当且仅当点P 是线段BF 与抛物线x  4y 的交点时取等号，
P B4,3 P 2 5
所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为.
故选：C
x2 y2
2  2 1a  b  0
8. 直线 y  kx 交椭圆a b 于A,B 两点，P 为椭圆上异于A,B 的点，PA ，PB 的斜率
16
k ,k k1 k2  
分别为1 2，且25 ，则该椭圆的离心率为（）
3 4 2 5 3 5
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】设出点A,B 的坐标，结合椭圆方程及斜率坐标公式，利用离心率公式求解即可.
P(x, y), A(x0, y0) B(x0,y0) x  x0  0
【详解】设点 ，则根据椭圆的对称性知点，显然，
2 2 2 2
x y x0 y0 (x  x0)(x  x0) (y  y0)(y  y0)
2  2 1 2  2 1 2  2  0
由a b 与a b ，相减得a b ，
y  y y  y b2 y  y y  y 2
0  0   k  0 ,k  0 b 16
2 1 2 k1 k2   2  
x  x0 x  x0 a x  x0 x  x0 a 25
整理得，而，于是，
2 c a2 b2 b2 3
b 16
2  e    1 2 
所以a 25 ，所以该椭圆的离心率为a a a 5 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握圆锥曲线的点差法，从而得解.
4 / 21 : .
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 ）
x2 y2
C :  1
9. 已知双曲线 9 16 ，则下列关于双曲线C 的结论正确的是（）
A. 实轴长为 6 B. 焦距为 5
4
C. 离心率为 3 D. 焦点到渐近线的距离为 4
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
x2 y2
C :  1 2 2
【详解】由双曲线 9 16 ，可得a  3,b  4，则c  a b  5，
c 5
e  
可得双曲线的实轴长为2a  6，焦距为2c 10，离心率为a 3 ，
所以 A 正确，B、C 不正确；
4
y   x
3 4x 3y  0 F1(5,0),F2(5,0)
又由双曲线的渐近线方程为 ，即，且焦点，
45
2 2  4
不妨设右焦点 F2(5,0) ，渐近线为4x 3y  0，则焦点到渐近线的距离为4 3 ，所以D 正确.
故选：AD.
M A,B MA   MB   0  1 M
10. 在平面上，动点 与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆
M x, y