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兰州大学信息科学与工程学院
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上节内容回忆
化方阵A为Jordan原则形
特征向量法
初等变换法
多项式矩阵（ λ矩阵）
多项式矩阵的Smith原则型
不变因子、初等因子
行列式因子法
的相似变换矩阵P的求法
在A的Jordan矩阵中构造k个以 为对角元素的Jordan块
k个Jordan块的阶数之和等于
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Hamilton-Cayley定理
任一方阵都是它的特征多项式的根
Hamilton-Cayley定理
设 ， ，则
证明：
由于
显然
运算结果是一个多项式
运算结果是一个数
运算结果是一个矩阵
运算结果是一个零矩阵
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Hamilton-Cayley定理
任一方阵都是它的特征多项式的根
证明：
考察J：
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Hamilton-Cayley定理
将J写成如下形式：
上式中 是A 的n个根，因此
将矩阵A代入上式，形成一种矩阵多项式，：
将 代入上式：
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Hamilton-Cayley定理
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Hamilton-Cayley定理
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Hamilton-Cayley定理
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Hamilton-Cayley定理
任一方阵都是它的特征多项式的根
证明：
仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵：
设
其中： 是 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那么与常数矩阵类似：
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Hamilton-Cayley定理
设 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么
是次数为n的多项式：
再考察 ，其每个元素的次数均不超过n – 1:
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