甘肃二模数学诊断答案.pdf

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2025年甘肃省高三月考（4 月）
数学试题答案及评分参考
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B B A A C
页例 4.
1
：函数的定义域为x(1,)， fxxa'()2.
x 1
1
因为函数 fx()图象上存在两点处的切线与直线yx垂直，
2
1
故 22xa有两个不同的大于 1 的解，
x 1
2
即2(4)30xaxa有两个不同的大于 1 的根 .
令 gxxaxa()2(4)32 ，

 g(1)>0，  aR,
 2 
则( 4) 8( 3) > 0aa，即aa,22 22,或
 a  4  a. 0
 1. 
 4
S
所以a 22.
：过 A作AH 平面SBC ，因为SA AB AC2 ， P
所以SBC 是边长为2 的等边三角形，易知H 为SBC 的 H
A C
6
中心，且AH  ， AP 与平面SBC 所成角为APH ，
3
B
高三月考 数学答案 第 1 页（共 11 页） : .
6
因为 AP 与平面SBC 所成角的正切值为 ，
2
6
所以tan APH ，
2
2 2
解得 PH  ，所以 P 的轨迹为以 H 为圆心，以 为 S
3 3
半径的落在SBC 内的圆弧. M N
23
根据SH  ，可知四边形SMHN 是菱形，
3 H

且MHN ， B C
3
2
根据对称性可知：P 所形成的轨迹是三段等长的圆弧，故 P 的轨迹长为r .
3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BCD AB BD
 2 
：对于 A，因为BA BC BA ，所以 BA BC BA()0，

即 BA AC0，所以FAF12是直角三角形，解得AFF12的面积为 1，故 A 正确；
对于 B，因为F2(5,0)，直线的斜率存在且不为 0，设l 的方程为：xmy5
（m  0），
 xmy5, 22
联立方程 22得：(4)2510mymy，
xy440,
 m2 40,
 22
(2 5 ) 4( 4) 0,mm

因为直线l 交E 的右支于A , B 两点，故 1
 yy122 0,
 m  4
 m  0.
解得：m(2,0)(0,2) ，
1 1
所以斜率 k 的范围为k ，或k  ，故 B 错误；
2 2
对于 C，因为直线l 的斜率为 1，故直线的方程为xy5 ，
设 Ax,y()11，Bx,y()22，
高三月考 数学答案 第 2 页（共 11 页） : .
由 B 可知，联立方程得：32510yy2 ，
251
故 yy12， yy12，
3 3
1 2
Sc|yy|yyyyABF1 25()4121212
2
2544102
5()，故 C 正确；
333
对于 D，设 HPD  ， PHm
DH 1
则tan ，
PHm
2 y
 2 1tan 
因为 PH PK PH PK m| || |cos2  2
1tan 
42
mm 2 2
22m 13 ，
mm11
x
2  2
令tm1，则 PH PK t3，
t
5x2
设 P(x , y ) ，则 PD2  (x  4)2  y2  0 8x 15（ x  2），
0 0 0 0 0 0
4
16
因为对称轴为 x0  [2,)，
5
2 11 226
故 PDmin  ，则mPDmin min1 ，
5 5
11  11 6
所以t,[)，故 PH PK  的最小值在t  时取得，最小值为 .故 D 错误.
5 5 55
故选 BD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
20
13. 322 ； 11 E F
3
106 页第 5 题. D C
N
：在刍甍 ABCD EF 中，过F 作底面ABCD H K
的垂线，垂足为H ， A M B
则FH  11 ，取 BC 的中点K ，则FK  23，
HK FK HK221，所以 EF  2.
分别取 AB DC， 的中点MN, ，
则刍甍ABCD EF 被分为四棱锥E AMND 和三棱柱EMN FBC .
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1811
又因为VE AMND 4211，
33
3
VVVV三棱柱三棱锥三棱锥四棱锥EMN FBC M FBC F MBC F MBCN33，
2
又因为VV四棱锥四棱锥F MBCN E AMND
820
所以该刍甍的体积为 11 4 11 11.
33
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（ 13 分）

解：因为BC  6， BD DC 2 ，所以 BD  4，DC  2 . ……………………1 分
（1）因为cCbBcos cos ，根据正弦定理，可知sin cos sin cosCCBB ，
由二倍角公式得：
sin2 sin2CB ， ……………………2 分

所以22CB，或22CB ，即BAC ，或 BC ， …………………… 3 分
2
 
①BAC 时，因为C  ，
2