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1．在破体直角坐标系中，以原点为顶点，x轴正半轴为极轴树破极坐标系，并在两坐标系中取一样的长度单元．曾经明白曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾歪角)．
(1)写出直线l的一般方程跟曲线C的直角坐标方程；
(2)假定直线l与曲线C有独一的年夜众点，求角α的巨细．
解：(1)当α＝时，直线l的一般方程为x＝－1；
当α≠时，直线l的一般方程为y＝(x＋1)tanα.
由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，
因此x2＋y2＝2x，
即为曲线C的直角坐标方程．
(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，收拾得t2－4tcosα＋3＝0.
由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，
因此cosα＝或cosα＝－，
故直线l的倾歪角α为或.
2．以顶点为原点，以极轴为x轴正半轴树破破体直角坐标系，曾经明白曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为(α为参数)．
(1)推断两曲线C跟C′的地位关联；
(2)假定直线l与曲线C跟C′均相切，求直线l的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100，
由得曲线C′的一般方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
曲线C表现以(0，0)为圆心，10为半径的圆；
曲线C′表现以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．
由于两圆心间的间隔5即是两圆半径的差，因此圆C跟圆C′的地位关联是内切．
(2)由(1)树破方程组
解得可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的歪率为，
因此直线l的直角坐标方程为y＋8＝(x－6)，
即3x－4y－50＝0，
因此极坐标方程为3ρcosθ－4ρsinθ－50＝0.
3．(2019·湘东五校联考)破体直角坐标系xOy中，倾歪角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为顶点，x轴的正半轴为极轴，树破极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)跟曲线C的直角坐标方程；
(2)假定直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾歪角α的值．
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得
t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分不为t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关联得，t1＋t2＝，t1t2＝，
依照直线的参数方程中参数的多少何意思，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝.
又Δ＝(2cosα＋8sinα)2－80sin2α>0，
因此α＝.
4．(2019·湖北八校联考)在破体直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α是参数)，以原点O为顶点，x轴的正半轴为极轴树破极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝.
(1)求曲线C1的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的间隔的最年夜值，并求如今点P的坐标．
解：(1)曲线C1的一般方程为＋y2＝1，
由ρsin＝，得ρsinθ＋ρcosθ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)设点P的坐标为(cosα，sinα)，
那么点P到C2的间隔为
＝，
当sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ(k∈Z)，α＝－＋2kπ(k∈Z)时，所求间隔最年夜，最年夜值为2，
如今点P的坐标为.
[综合题组练]
1．(2019·郑州市第一次品质测试)在破体直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾歪角为α，以坐标原点为顶点，x轴的正半轴为极轴树破极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.
(1)写出直线l的参数方程跟曲线C的直角坐标方程；
(2)假定α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由题知直线l的参数方程为(t为参数)．
由于ρ＝，因此ρsin2θ＝8cosθ，因此ρ2sin2θ＝8ρcosθ，即y2＝8x.
(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，
代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，
设A，B两点对应的参数分不为t1，t2，那么t1＋t2＝8，t1·t2＝－16，
因此|AB|＝|t1－t2|＝＝8.
又点O到直线AB的间隔d＝1×sin＝，
因此S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2.
法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，
设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2＝8(y＋1)，
即y2－8y－8＝0，
由根与系数的关联得
S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2.
2．(2018·高考天下卷Ⅲ)在破体直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾歪角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范畴；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tanα＝k，那么l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范畴是.
(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．
设A，B，P对应的参数分不为tA，tB，tP，那么tP＝，且tA，tB满意t2－2tsinα＋1＝0.
因此tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.
又点P的坐标(x，y)满意
因此点P的轨迹的参数方程是
(α为参数，＜α＜)．
3．(2019·惠州市第二次调研)曾经明白曲线C：(α为参数)跟定点A(0，)，F1，F2是此曲线的左、右核心，以原点O为顶点，以x轴的正半轴为极轴树破极坐标系．
(1)求直线AF2的极坐标方程；
(2)通过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．
解：(1)曲线C：可化为＋＝1，故曲线C为椭圆，
那么核心F1(－1，0)，F2(1，0)．
因此通过点A(0，)跟F2(1，0)的直线AF2的方程为x＋＝1，即x＋y－＝0，
因此直线AF2的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝.
(2)由(1)知，直线AF2的歪率为－，由于l⊥AF2，因此直线l的歪率为，即倾歪角为30°，
因此直线l的参数方程为(t为参数)，
代入椭圆C的方程中，得13t2－12t－36＝0.
由于点M，N在点F1的两侧，因此||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝.
4．(综合型)(2019·南昌市第一次模仿)在破体直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为顶点，x轴非负半轴为极轴，树破极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.
(1)求曲线C1的一般方程跟曲线C2的直角坐标方程；
(2)曾经明白曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，务实数a的值．
解：(1)由于曲线C1的参数方程为，
因此其一般方程为x－y－a＋1＝0.
由于曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，
因此ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，
因此x2＋4x－x2－y2＝0，
即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)设A，B两点所对应的参数分不为t1，t2，
由，
得2t2－2t＋1－4a＝0.
Δ＝(2)2－4×2(1－4a)>0，
即a>0，由根与系数的关联得
依照参数方程的多少何意思可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，
又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，
即t1＝2t2或t1＝－2t2.
因此当t1＝2t2时，有，
解得a＝>0，契合题意．
当t1＝－2t2时，有，
解得a＝>0，契合题意．
综上所述，实数a的值为或.