向量组的线性组合公开课获奖课件赛课一等奖课件.ppt

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定义：若干个同维数的列向量（行向量）所构成的集合称为向量组．
结论：具有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
有限向量组
第三节 向量组的线性组合
(一)、向量组的线性组合
1。向量组：
当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解构成的向量组具有无穷多种向量．
(一)、向量组的线性组合
1。向量组：
2。向量组的线性组合与线性表达
定义1 对于向量组a1，a2， ，am ，假如有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2  kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一种线性组合，
或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表达。
定义：若干个同维数的列向量（行向量）所构成的集合称为向量组．
例1．设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)，则
∴ b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的一种线性组合，
也就是b可由a1，a2 ，a3线性表达。
∵b=2a1-a2+a3
=2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1)
=(2, -1, 1)，
定义1对于向量组a1，a2， ，am ，假如有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2  kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一种线性组合，
或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表达。 。
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注意：
（1）向量组a1，a2 ，a3 的线性组合有无穷多种
（2）一种向量b有也许可由向量组a1，a2 ，a3 的线性表达；
也有也许不能由向量组a1，a2 ，a3 的线性表达。
例2．任何一种n维向量a=(a1, a2,  , an) T都是n维向量组e1=(1, 0,  , 0) T ，e2=(0, 1,  , 0) T ， ，en=(0, 0,  , 1) T的线性组合。
这是由于a=a1e1 a2e2   an en。
向量组e1，e2， ，en称为n维单位向量组或n维基本向量组
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定义1对于向量组a1，a2， ，am ，假如有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2  kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一种线性组合，
或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表达。
结论：
任何一种n维向量a=(a1, a2,  , an)都可由n维单位向量组或n维基本向量组线性表达
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例：设
那么
线性组合的系数
e1, e2, e3的
线性组合
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
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n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
例3．零向量是任何一组向量的线性组合。
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定义1对于向量组a1，a2， ，am ，假如有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2  kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一种线性组合，
或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表达。
例4．向量组a1，a2 ， ，am中的任历来量i(1im)都是此向量组的线性组合。
注意：对k1，k2， ，km未加任何限制；尤其是未限制k1，k2， ，km不全为零。
这是由于o=0a1 0a2   0 am
这是由于ai=0a1  + 1ai    0 am 。
定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表达的充足必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程组
x1a1 x2a2   xm am b
有解。 
讨论： 上述线性方程组在什么状况下有解？
提醒： 线性方程组 x1a1 x2a2   xm am b
有解的充足必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相似的秩，
即矩阵(a1 a2  am)与矩阵(a1 a2  am b)的秩相等。
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3。 b可由a1，a2， ，am线性表达的判定措施：
a11x1+ a12x2 +  + a1mxm =b1
a21x1+ a22x2 +  + a2mxm =b2
an1x1+ an2x2 +  + anmxm =bn
     
x1a1 x2a2   xm am b 
定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表达的充足必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程组 x1a1 x2a2   xm am b有解。 
推论：
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3。 b可由a1，a2， ，am线性表达的判定措施：
（1） n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表达
秩(a1 a2  am)=秩(a1 a2  am b)
定理′ n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表达的充足必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程组 x1a1T x2a2T   xm amT bT有解。 
（2） n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表达
秩(a1T a2 T amT)=秩(a1T a2T  amT bT)
例5
设
判断向量b与否为向量组a1 ，a2 ， a３ 的线性组合。若是，写出表达式。
解：设x1a1x2a2 x３a３b
由此可得线性方程组
解此线性方程组