文档介绍：第三章 ***衡态的输运过程 (Transportation process near equilibrium)
前两章讨论的都是系统已经达到平衡态后的性质,并不关心系统是如何从非平衡态到平衡态的。本章讨论这些过程的一个简单情况:从***衡态到平衡态。
第一节气体分子的碰撞频率与平均自由程
从麦克斯韦速率分布估算的气体分子平均速率在500 m/s 左右,但实验中发现一种气体向另一种气体的扩散速率很慢。
解释:气体扩散速率不但与气体平均速率有关,还与粒子碰撞频率有关。(醉鬼走路)。
给定气体平均速率,粒子碰撞频率越高,其扩散速率越低。
(一)有效碰撞截面与碰撞速度
碰撞截面
由于分子之间有相互作用,当分子B以相对速度向分子A靠近时,其“运动轨迹”与分子A到其入射方向的垂直距离 b (称为瞄准距离)有关
对有效直径分别为d1, d2 的分子碰撞,
(如图示): b增大,偏折角(出射角)变小。恰好使偏折角为0的瞄准距离 b=d 称为分子的有效直径,以d 为半径的“圆截面”称为分子的散射截面,或碰撞截面,记为
显然刚球的有效直径就是刚球的直径
相对速度
两粒子发生碰撞的相对速度服从牛顿定律(两体问题):
定义质心:
得:
质心运动与碰撞无关,不予考虑。
定义折合质量:
相对速度:
相对速度分布
在同一个地方同时找到速度为
两分子概率为
容易证明:
又因为
两分子联合速度分布可写为:
在全空间对积分,在对可取的所有方向积分,得:
当
时,
(二)平均碰撞频率与平均自由程
上面分析的目的是把一个分子与其他分子发生碰撞的过程用一个等价的过程代替。既:一个质量为的分子以平均速率在有静止分子组成的气体中运动并与之碰撞。
这个等价分子的运动速率满足麦克斯伟分布
可以把分子在单位时间里做过的轨迹拉直,形成一个有效直径 d 为半径的圆筒。在筒内的分子都可以与运动分子发生碰撞。
在时间内运动分子的平均碰撞数为:
平均碰撞频率为:
平均自由程为:
单位体积中总碰撞次数为:
把这个分子看成是醉鬼。在它离开原地的平均距离为:
例:N2 分子在标准情况下
(三)气体分子的自由程分布
设自由程的概率密度函数为择一个分子在行走了后不发生碰撞的几率为:
在这之后,分子又行走了没有发生碰撞的几率为
当充分小时
没有三分子碰撞事件
两事件为独立事件
解方程得
概率密度函数
由于
归一化条件不能确定
平均自由程概率密度函数为
(柏松分布)