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数学模型是对于现实世界的一种特定对象，一种特定目的，根据特有的内在规律，做出某些必要的假设，运用合适的数学工具:例如数学符号、数学式子、程序、，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优方略或很好方略。
第一讲数学模型与数学建模 简介
假设
，忽视物体的大小和形状。
、摩擦力及其他外力。
例1：牛顿第二定律(Newton)
令x(t)表达在t时刻物体的位置, 则
质点在外力作用下
运动的数学模型
牛顿第二定律(Newton)
例2：哥尼斯堡七桥问题
18世纪德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸于两岛间架有七座桥。问题是：一种人怎样走才可以不反复的走遍七座桥而回到原地。
1736年 Konigsberg Pregel Euler
图论简化模型
A
B
C
D
一笔画问题
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
数学建模（Mathematical Modeling）
数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁
：数学知识的综合。模型的综合。
数学建模的特征
1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检查。
2. 应用性：注意实际问题规定。强调模型实用价值。
椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析
模型假设
一般 ~ 三只脚着地
放稳 ~ 四只脚着地
四条腿同样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;
地面高度持续变化，可视为数学上的持续曲面;
地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同步着地。
数学建模示例
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表达出来
椅子位置
运用正方形(椅脚连线)的对称性
x
B
A
D
C
O
D´
C ´
B ´
A ´
用(对角线与x轴的夹角)表达椅子位置
四只脚着地
距离是的函数
四个距离(四只脚)
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
两个距离
椅脚与地面距离为零
正方形ABCD
绕O点旋转
正方形对称性
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表达出来
f() , g()是持续函数
对任意, f(), g()至少一种为0
数学问题
已知： f() , g()是持续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型构成
地面为持续曲面
椅子在任意位置至少三只脚着地
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明措施
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的持续性知 h为持续函数, 据持续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
由于f() • g()=0, 因此f(0) = g(0) = 0.
评注和思考
建模的关键 ~
假设条件的本质与非本质
考察四脚呈长方形的椅子
和 f(), g()确实定
，明确建模目的，搜集掌握必要的数据资料。
，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起重要作用的原因，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。
，运用合适的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立对应的数学构造 ——即建立数学模型。
。
。
在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。
数学建模的一般步骤
实体信息(数据)
假设
建模
求解
验证
应用