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一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
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三重积分
第九章
一、三重积分的概念
类似二重积分处理问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在 内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
处理措施:
质量 M .
密度函数为
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定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
例如
下列“乘
中值定理.
在有界闭域 上持续,
则存在
使得
V 为 的
体积,
积和式” 极限
记作
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二、三重积分的计算
1. 运用直角坐标计算三重积分
措施1 . 投影法 (“先一后二”)
措施2 . 截面法 (“先二后一”)
措施3 . 三次积分法
先假设持续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最终, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
措施:
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措施1. 投影法 (“先一后二” )
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
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措施2. 截面法 (“先二后一”)
为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
面密度≈
记作
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投影法
措施3. 三次积分法
设区域
运用投影法成果 ,
把二重积分化成二次积分即得:
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当被积函数在积分域上变号时, 由于
均为非负函数
根据重积分性质仍可用前面简介的措施计算.
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小结: 三重积分的计算措施
措施1. “先一后二”
措施2. “先二后一”
措施3. “三次积分”
详细计算时应根据
三种措施(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
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其中 为三个坐标
例1. 计算三重积分
所围成的闭区域 .
解:
面及平面
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