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《高中数学》
必修5
《基本不等式 -均值不等式》
教学目的
推导并掌握两个正数的算术平均数不不不小于它们的几何平均数这个重要定理；运用均值定理求极值。理解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
教学重点：
推导并掌握两个正数的算术平均数不不不小于它们的几何平均数这个重要定理；运用均值定理求极值。理解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
如果a，b∈R，
那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b
时取“=”）
证明：
1．指出定理合用范围：
2．强调取“=”的条件：
定理：
如果a, b∈R+，那么
（当且仅当a=b
时，式中等号成立）
证明：
∵
∴
即：
当且仅当a=b时
均值定理：
注意：1．合用的范围：a, b 为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不不不小于它们的几何平均数。
称
为a，b
的算术平均数，
(a≥0,b≥0)
称为基本不等式
称
的几何平均数。
为a，b
把
看做两个正数a，b
的等差中项，
看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以论述为：
两个正数的等差中项不不不小于它们的等比中项。
尚有无其他的证明措施证明上面的基本不等式呢?
几何直观解释：
令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 和
的两条线段，然后比较这两条线段的长。
详细作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O；
（3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
当a≠b时，OC>CD，即
当a=b时，OC=CD，即
例1．已知ab>0，求证： ，并推导出式中等号成立的条件。
证明：由于ab>0，因此 ，
根据均值不等式得
即
当且仅当 时，即a2=b2时式中等号成立，
由于ab>0，即a，b同号，因此式中等号成立的条件是a=b.