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第二节
第十章
一、第二类曲线积分的概念及性质
二、两类曲线积分之间的联络
三、第二类曲线积分的计算
一、第二类曲线积分的概念及性质
1. 问题引入
“分割，近似, 求和, 取极限”
变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
L: A B,
处理措施:
求移动过程中变力
联想：恒力沿直线做功
所作的功W.
2º 取近似
把L提成 n 个小弧段,
有向小弧段
近似替代,
则有
所做的功为
F 沿
则
用有向线段
在上任取一点
1º 分割
4º 取极限
(其中 为 n 个小弧段的最大长度)
3º 求和
变力沿曲线所作的功
设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条
有向光滑弧,
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
都存在(与分割和取点无关),
在L 上定义了一种有界向量函数
极限
2.
F(x,y)在有向曲线弧 L 上的第二类曲线积分,
或对坐标的曲线积分，记作
则称此极限值为向量值函数
积分曲线
第二类曲线积分的向量形式
第二类曲线积分的坐标形式
对 x 的曲线积分;
对 y 的曲线积分.
注
1° 有关第二类曲线积分的几种术语
2° 若 为空间曲线弧 ,
3°假如L 是闭曲线, 则对坐标的曲线积分记为
4°对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
5° 变力沿曲线所作的功
性质
L1
L2
(3) 有向性: 用L－ 表达 L 的反向弧 , 则
这是第一类和第二类曲线积分的一种重要区别
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向.