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期末试卷一
一、填空题(共48分，每格三分)
1. 若随机变量 满足 则称 是来自总体X的一个简单随机样本。
3. 已知随机变量 ，则 。
4. 设总体 X 服从 ， 未知，则样本容量为n的总体方差 的置信水平为 的置信区间为
独立同分布
2. 设总体X服从参数为 的泊松分布， 是简单随机样本，均值为 ，方差为 ，则 已知 为 的无偏估计量，则a= 。
2
6. 设随机过程 ，其中 为常数，A是服从标准正态分布的随机变量，则X(t)的均值函数为 ，协方差函数为 。
7. 设 是强度为 的泊松过程，且对于任意 ，有 ，则 。
8. 设 是参数为 的维纳过程，其协方差函数为 。
5. 设矿石中某种元素含量服从正态分布，但均值和方差和均未知。现测定容量为16的样本， 为样本均值和样本方差，试在显著性水平 下检验 时所用的检验统计量为 。
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10. 对平稳过程X (t) 若 以概率1成立，则称X (t)的自有关函数具有各态历经性。
9. 设马尔可夫链 的状态空间I={0,1}
则一步转移概率矩阵为 ，初始分布为 则 的分布律为 。
11. 已知平稳过程X (t)自相关函数为 ，则X (t)的谱密度 ，X(t)的均方值 。
4
解：由题意提出假设：
二、(10分)已知某厂生产的灯泡寿命服从 ，其中 和 未知，现随机抽取16只进行测试，测得它们的平均寿命为： 小时，样本标准差为： 。
检查记录量：
拒绝域：
样本计算值为
不在拒绝域内，接受原假设，故平均寿命是小时。
1. 在显著水平 下，能否认为这批灯泡的平均寿命为2000小时？
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解：由题意要检查假设：
检查记录量：
拒绝域：
样本计算值为
在拒绝域内拒绝原假设认为这批灯泡的原则差超过300。
2. 在显著水平 下，检验假设
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解: (1)矩估计量
解之得：
三、(10分)设总体X的概率密 度函数为，其中未知参数 ， 而 是来自总体X的一个简单随机样本，求 的矩估计量和最大似然估计量。
其它
将 代入得矩估计量
(2)最大似然估计量
其它
解之得最大似然估计值为
解之得 最大似然估计量为
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四、(10分)设在正态总体 中抽取一容量为16的简单随机样本，样本方差为 ，其中 均未知，已知
解：
1. 求
2. 若 已知，求 。
解：
8
2. 求
五、(12分) 已知马尔可夫链的状态空间为I={1,2,3}，初始分布为 ，其一步转移概率矩阵为
1. 求
解：
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3. 证明此链具有遍历性，并求其极限分布。
证明：显然P(2)中无零元，故遍历。
设极限分布为
解之得：
10
2. 证明X(t)具有各态历经性 。
1. 证明X(t)是平稳过程。
六、(10分)设随机过程 ，其中 为常数， 。
显然均值函数是常数，自相关函数仅与 有关，X(t)是平稳过程。
显然， X(t)具有各态历经性。
3. 求X(t)的谱密度。