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计算措施
(Numerical Analysis)
内容
常微分方程初值问题解的存在性定理
Euler公式
梯形公式
两步Euler公式
欧拉法的局部截断误差
改善型Euler公式
龙格-库塔法
算法实现
常微分方程初值问题
解的存在性定理
第9章 常微分方程初值问题数值解法
包含自变量、未知函数及未知函数的导数的方程称为微分方程。
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。
都是一次的,则称其为线性的,否则称为非线性的。
…
如果未知函数y及其各阶导数
§ 引言
自变量个数只有一种的微分方程称为常微分方程。
如下是某些经典方程求解析解的基本措施
可分离变量法、
常系数齐次线性方程的解法、
常系数非齐次线性方程的解法等。
的解就不能用初等函数及其积分来表达。
但能求解的常微分方程仍然是很少的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。例如，一阶微分方程
从实际问题当中归纳出来的微分方程，一般重要依托数值解法来处理。
( )
在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。
本章主要讨论一阶常微分方程初值问题
定理1：假如函数f(x, y)在带形区域
则方程( ) 在a, b上存在唯一的持续可微分的解的解 y=y(x) 。
内持续，且有关y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x, y无关)使
推论：假如函数f(x,y)对y的偏导数 在带形区域
对R内的所有x，y 都成立。
即存在常数L(它与x,y无关)使
则方程( ) 在a , b上存在唯一的持续可微解y=y(x) 。
内有界。
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Euler公式
本章假设微分方程初值问题()有解
常微分方程初值问题()的数值解法的基本思想：
算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点
的近似值
处的函数值
y=y(x)
a=x0
xn=b
x1
x2
x3
(未知)
…
…
…