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半群与群
半群与独异点
群的定义与性质
子群
陪集与拉格朗曰定理
正规子群与商群
循环群和置换群
环与域
环的定义与性质
整环与域
格与布尔代数
半群与群
半群、可互换半群和独异点
①设V=<S,˚>是代数系统, ˚为二元运算,假如˚是可结合的, 则称V为半群．
② 假如半群V=<S,˚>中的二元运算具有幺元, 则称V为含幺半群, 也可叫做独异点.
假如半群V=<S,˚>中的二元运算˚是可互换的, 则称V为可互换半群.
注: 为了强调幺元的存在, 有时将独异点记为<S,˚,e>
半群与独异点
① < Z+,+>是半群
② <N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群和独异点，其中+表达一般加法,幺元是0,<N,+,0>,…,<R,+,0>
③<Mn(R),·>是半群和独异点,其中·表达矩阵乘法,<Mn(R),·,E>
④ <P(B),>是半群和独异点,其中表达集合的对称差运算, 其幺元是, 记作<P(B),,>
⑤ <Zn,>是半群和独异点, 其中Zn ={0,1,…,n-1}, 表达模n加法, 模n加法的幺元是0. <Zn, ,0>
其中: ① ②④⑤ 为可互换半群.
半群与独异点
半群与独异点
判断下述论断对的与否, 在对应的括号中键入“Y”或“N”.
(1) 在实数集R上定义二元运算*为：对于任意的a,b∈R, a*b=a+b+ab
(a) <R,*>是一种代数系统；( )
(b) <R,*>是一种半群； ( )
(c) <R,*> 是一种独异点。( )
(2) 在实数集R上定义二元运算◦为, 对任意 a,b∈R, a◦b=|a|·b (其中·表达数学的乘法运算)
(a) <R,◦>是一种代数系统； ( )
(b) <R,◦>是一种半群； ( )
(c) <R,◦>是一种独异点。 ( )
N
Y
Y
Y
Y
Y
子半群和子独异点
定义: 半群的子代数叫做子半群,
即: 假如V=<S,˚>是半群, <T,˚>就是V的子半群,需要满足如下两个条件:
① T是S的非空子集;
② T对V中的运算˚是封闭的.
定义: 独异点的子代数叫做子独异点,
对独异点V=<S,˚,e>, <T,˚,e>构成V的子独异点,需要满足如下条件:
① T是S的非空子集;
② T要对V中的运算˚封闭;
③ e∈T.
半群与独异点
群的定义
设<G,◦>是代数系统,◦◦是可结合的,存在幺元e∈G,并且G中的任意元素x,均有x-1∈G, 则称G是群.
① <Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群;
② <P(B),,>是群, 其中表达集合的对称差运算, 任意元素的逆元是其自身;
③ <Zn,,0>是群,其中Zn={0,1,…,n-1}, 表达模n加法, 0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x.
群的定义与性质
群的定义与性质
e为G中的幺元, ◦是可互换的.
任何G中的元素与自已运算的成果都等于e.
在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的成果都等于另一种元素.
一般称这个群为Klein四元群.
设G＝{e,a,b,c}, ◦为G上的二元运算, 它由如下运算表给出, 不难证明G是一种群.
群的定义与性质
群的术语
(1) 若群G中的二元运算是可互换的, 则称群G为互换群, 也叫做阿贝尔(Abel)群．
例
① <Z,+>, <Q,+>,<R,+>都是群, 也是阿贝尔(Abel)群;
② <P(B),,>是群, 也是阿贝尔(Abel)群;
③ <Zn,,0>是群, 也是阿贝尔(Abel)群.
④ Klein四元群也是阿贝尔群．
(2) 若群G中有无限多种元素, 则称G为无限群, 否则称为有限群, 只含幺元的群为平凡群.
例如, <Z,＋>, <R,＋>都是无限群. <Zn,>是有限群. Klein四元群也是有限群.
群的定义与性质
群的术语
(3) 群的阶: 对于有限群G,G中的元素个数也叫做G的阶, 记作|G|.
例如: <Zn,>是有限群, 其阶是n; Klein四元群也是有限群, 其阶是4.
(4) xn定义: x0=e, xn+1=xn◦x, x-n=(x-1)n
(5) 元素x的阶: 设G是群,x∈G,使得xk＝e成立的最小的正整数k叫做x的阶(或周期).假如不存在正整数k,使xk＝e, 则称x是无限阶元.
注:
对有限阶的元素x, 一般将它的阶记为|x|.
在任何群G中幺元e的阶都是1．
群的定义与性质
群的术语
,|a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=?
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