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Mathematical Modelling
第五讲 足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对方球门前不一样的位置起脚射门对球门的威胁是不相似的。在球门的正前方的威胁要不小于在球门两侧的射门；近距离射门对球门的威胁要远不小于远距离的射门。在实际中，球员之间的基本素质也许有所差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和
足球比赛的实际状况建模分析，并回答如下几种问题：
1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门命中率相似？
2. 针对球员在不一样位置射门的威胁程度进行研究，并绘制出球门的危险区域；
3. 在有一名守门员
的状况下，对于球员射门
威胁程度和威胁区域作进
一步研究.
二、问题分析
根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，均有进与不进两种也许，这自身就是一种随机事件，无非是那些地方进球的也许性大某些，哪些地方进球的也许性小某些。我们把进球也许性大的区域称为危险区域。同样球员无论从哪个地方射门，均有一种确定的射门角度，不一样的射门地点，其射门角度不尽相似，射门的角度与球场上的最大射门角度之比称为命中率。
某一球员在球门前某点向球门内某目的点射门时，该球员的素质和球员到目的点的距离决定了球抵达目的点的
概率，即命中球门的概率。实际上，当上述两个原因确定期，球飞向球门所在平面上的落点展现一种固定的概率分布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一种二维正态分布，这是我们处理问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面上确定一种目的，射门后球以该概率分布落在球门所在的平面内。将球门视为所在平面的一种区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在球场上选择射门的目的点是任意的，而命中球门的概率对目的点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门的危险区域。
三、模型假设
为处理上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、合适的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽视不计，即将足球当作一种质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据记录资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
3．射门时无对手进行有效的防守。
4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等原因。
5．足球场地是国际上的原则场地。
四、模型建立与求解
根据我们调查，国际原则足球场地的规格为：长104米、宽69米，， 。
球门区：，，一端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这三条线与球门线范围内的地区叫球门区。
罚球区： ，,一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点
垂直向场内量11米处各做一种清晰的标识，叫罚球点。以罚球点为圆心，,在罚球区外画一段弧线,叫罚球弧。这里仅需讨论一种球门的情形。如示图1
图1
1. 问题1的讨论
由平面几何知识知:沿边线 总可以找到一点使得∠APB 最大。 大家知道， 球员水平一定的情况下，角∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球场内，哪些点属于足
球射门的最佳点呢？
为研究方便，我们把
足球场地划分为三条
带型区域：