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一次函数,二次函数和反比例函数综合题复习（答案）
一 知识要点:
反比例函数及其基本性质
1、反比例函数的基本形式
一般地，形如（为常数，)
2、反比例函数中比例系数的几何意义
(1）过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。
(2）正比例函数y=k1x（k1＞0)与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=｜k|，与正比例函数的比例系数k1无关。
（3）正比例函数y=k1x（k1＞0)与反比例函数y=（k＞0)的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴,过B点作BC⊥y轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2｜k｜，与正比例函数的比例系数k1无关.
3。反比例函数及其图象的性质
1）．函数解析式：（） 2)．自变量的取值范围：
3)．图象： ①图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．
②图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
③对称性：图象关于原点对称，即若（a，b)在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若(a，b)在双曲线的一支上，则
（，)和（，)在双曲线的另一支上．
二 例题教学：
例1：一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图,A点为(－2，0）。则下列结论中，正确的是【 】
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A． B． C． D．
例2：若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图像恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 ▲ .
【答案】0＜m＜2。
【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。
【分析】分段函数y＝的图象如右图所示：
例3：已知函数（是常数）
(1）若该函数的图像与轴只有一个交点,求的值;
（2）若点在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数都是随的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；
（3)设抛物线与轴交于两点，且，，在轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积;若不存在,请说明理由。
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综上所述，要使该反比例函数和二次函数都y随着x的增大而增大，必须且。
（3)存在。
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴一元二次方程方程的判别式,解得 。
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积为.
三 巩固练习
1. 二次函数的图象如图所示,反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是【 】
A． B． C． D．
2。 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B
两点，若反比例函数y＝（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是【 】
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A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
3。 已知正比例函数y=ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y=ax2＋k在坐系中的大致图象是【 】
，直线y＝k1x＋b与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜＋b的解集是 ▲ ．
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5。 如图，直线与抛物线相交于A,B两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S,且。
(1）求b的值；
(2)求证：点在反比例函数的图象上；
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6. 已知点A（1，c)和点B （3，d ）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝(k2＞0）的交点．
（1)过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM,求点B的坐标;
（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,并交双曲线y＝(k2＞0)于点N．当 取最大值时,若PN＝ ，求此时双曲线的解析式．
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（1）图 （2）图
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∴1≤≤.。∴ PE≥NE.∴ ＝－1＝。
∴当x＝2时，的最大值是。
由题意,此时PN＝，∴ NE＝。∴ 点N（2，) 。 ∴ k2＝3。
∴此时双曲线的解析式为y＝。
7。如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．
（1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
（2）把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；
（3)第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于、，求过、、三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点,使四边形的面积与四边形的面积满足：?若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由．
，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．
（1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
（2）把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；
（3)第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于、，求过、、三点的二次函数的解析式;
（4）在第（3）问的条件下,二次函数的图象上是否存在点,使四边形的面积与四边形的面积
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满足:？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
8。A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如:如图，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个伴侣正方形
（1）若某函数是一次函数,求它的图像的所有伴侣正方形的边长；
(2）若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m)（m <2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；
（3）若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）。写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？.(本小题只需直接写出答案)