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(完整word版)搞定空间几何体的外接球
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专题3 搞定空间几何体的外接球与内切球
一、基本方法:
（1)定心:确定球心，构造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解（）;该方法是解决外接球问题的主要的通法，但对空间想象能力、作图能力要求较高；所以熟悉以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题。
(2）补形：补成长方体,利用长方体对角线求解（）；有些几何体比较难确定球心，而几何体刚好是长方体的一部分，其外接球与长方体的外接球是同一个球，故可利用长方体模型求解.
另外有些不规则的几何体还可以选择建系，设球心，，、二、三、四为主。
类型一:锥体模型（的射影是的外心即侧棱长相等)
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步:先算出小圆的半径，再算出棱锥的高;
第三步：勾股定理：，解出
类型二：柱体模型（直棱柱、圆柱）
第一步：确定球心的位置,是的外心，则平面；
第二步:算出小圆的半径，;
第三步：勾股定理：
，解出
类型三：线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面，柱体也可以归于该模型）
第一步:将画在小圆面上,为小圆上任意的一点，;
第二步：为的外心,所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），;
第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:。
类型四：长方体模型
1。三条棱两两垂直，可补形为长方体
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方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式,求出
(即四面体）中,三组对棱分别相等，亦可补形为长方体
第一步：画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，,
，,
第三步：由，求出。
类型五：二面角模型(两个三角形拼在一起,一般为两等腰三角形或直角三角形）
,
第一步:先画出如图所示的图形,将画在小圆上，找出和的外心和;
第二步：过和分别作其所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心,连接；
第三步:解，算出，再由勾股定理：,求出球的半径。
当两直角三角形由公共斜边折叠时，其公共斜边就是外接球的直径。
类型六：内切球问题
1．正棱锥的内切球。
第一步：先现出内切球的截面图,分别是两个三角形的外心；
第二步：由相似于，建立等式：，解出
2．任意多面体的内切球：等体积法，
第一步:先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出
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