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(完整word版)绝对值问题的求解方法
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绝对值问题的求解方法
一、定义法
例1  若方程 只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。
分析与解  因为方程只有负数解，故 ,原方程可化为：
，
∴ ，
即
说明  绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。
二、利用非负性
例2  方程 的图象是（   ）
（A）三条直线：
(B）两条直线:
（C）一点和一条直线:（0,0），
（D)两个点:（0，1）,（－1,0）
分析与解  由已知，根据非负数的性质，得
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即 或
解之得： 或
故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。
说明  利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决.
三、公式法
例3  已知 ，求 的值。
分析与解  ，
∴原式
     
说明  本题根据公式 ，将原式化为含有 的式子,再根据绝对值的定义求值.
四、分类讨论法
例4  实数a满足 且 ，那么
分析与解  由 可得
且 。
当 时,
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；
当 时，
说明  有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。
五、平方法
例5  设实数a、b满足不等式 ,则
(A) 且
（B） 且
(C） 且
（D） 且
分析与解  由于a、b满足题设的不等式,则有
，
整理得
，
由此可知 ,从而
上式仅当 时成立,
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∴ ，即 且 ，
选B。
说明  运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解.
六、图示法
例6  在式子 中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是(   ）
（A)1  （B)2  （C)3  （D）4
分析与解  问题可变化为:在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使 最小（如图）。
由于 是当P点在线段AD上取得最小值3， 是当P在线段BC上取得最小值1，故 的最小值是4。选D。
说明  由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来,形象直观，便于思考,从而达到快捷解题之目的。
七、验证法
例7  是一个含有4重绝对值符号的方程，则（   )
(A）0、2、4全是根
(B)0、2、4全不是根
(C)0、2、4不全是根
（D）0、2、4之外没有根
分析与解  从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。
说明  运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误.
八、代数式零点法
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例8  的最小值是_________。
分析与解  由 可确定零点为－1、2、3。
当 时，
原式 ；
当 时，
原式 ；
当 时,
原式 ;
当 时，
原式
综上知所求最小值为4。
说明  运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是:（1）先求代数式零点,把数轴分为若干区间；(2）判定各区间内代数式的正负号；(3）依据绝对值的定义,去掉绝对值符号。
九、数形结合法
例9  已知二次函数 的图象如图所示,并设 ，则（   ）
（A)   （B)   （C）   (D）不能确定M为正、负或为0
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分析与解  令 中 ，由图象得： ;
令 得
∵顶点在第四象限,
∴顶点的横坐标
又 ，
而 ，
∴ ,即
故
    
选C。
说明  运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决.
十、组合计数法
例10  方程 ,共有几组不同整数解
（A）16  (B）14  （C）12  （D)10
分析与解  由已知条件可得
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当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时, .
共有12组不同整数解，故选C。
说明  此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件,进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。
十一、枚举法
例11  已知a为整数， 是质数，试确定a的所有可能值的和。
分析与解  设 是质数p，则 仅有因子±1及 。
当 时，
，此时， ；
当 时，
，此时， ；
当 时，
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，此时， ；
当 时,
,此时，