文档介绍：该【09数学分析教案-(华东师大版)第九章-定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性 】是由【海洋里徜徉知识】上传分享，文档一共【3】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【09数学分析教案-(华东师大版)第九章-定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
- 1 -
(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
§5 微积分基本定理。定积分计算（续）
教学要求:熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.
教学重点:熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.
引入
当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后，接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数。
一。 变限积分与原函数的存在性 
设f（x)在[a，b］上可积，根据定积分的性质4,对任何x∈[a,b］，f(x)在［a,x]上也可积，于是由，x∈[a，b］定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，，x∈［a,b],统称为变限积分。注意在变限积分中不可再把积分变量写成x,以免与积分上下限的x相混淆。变限积分所定义的函数有着重要性质,由于，因此只讨论变上限积分的情形。
定理9。9 若f（x）在[a,b]上可积,则，x∈［a,b]是连续函数。
证明 对［a,b］上任一确定的点x,只要x+Dx∈[a,b］,则,因f(x）在[a，b］上有界，可设|f（t)|≤M，t∈［a,b]，于是当Dx>0时有，当Dx<0时有，由此得到，即证得在点x处连续。由x得任意性，F(x）在[a,b］上处处连续。
定理9。10原函数存在定理 若f(x）在［a,b］上连续，则F(x)在［a，b］上处处可导，且F'(x）=f（x),即
证明 对[a，b]上任一确定的x，当Dx≠0且x+Dx∈［a，b]时,根据积分第一中值定理得，，由于f（x）在点x处连续，故有，由于x在[a,b]上的任意性,证得F(x)是f（x)在［a,b］上的一个原函数。
本定理沟通了导数和定积分这两个从表面上看去似不相干的概念之间的内在联系，同时也证明了连续函数必有原函数这一基本结论，并给出了f(x）的原函数F(x）。正因为定理9。10的重要作用而被誉为微积分学基本定理；此外又因f（x）的任意两个原函数之间只能相差一个常数,所以当f(x）为连续函数时，它的任一原函数F必满足，若在此式中令x=a，则得到从而有，再令x=b，既得，这是牛顿莱布尼茨公式的又一证明。,现在只需设被积函数f（x）为连续函数,其原函数F(x)，无需另作假设。
例1 求极限
应用洛必达法则和定理9。10得到
(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
- 2 -
(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
所以
利用变限积分又能证明积分第二中值定理
定理9。11积分第二中值定理 设函数f(x）在［a，b］上可积
（i)若函数g（x)在［a，b]上单调递减，且g（x)≥0，则存在ξ∈［a,b]使得
（ii) 若函数g(x）在[a，b］上单调递增，且g(x)≥0,则存在h∈[a，b］使得
证明 只证明(i),(ii）可类似证明。设，由于f（x)在［a,b]上可积,因此F(x)在［a,b]上连续，从而存在最大值M和最小值m。若g(a）=0，由假设g(x)º0,x∈［a，b]，则恒成立。下面设g（x)〉0,这时，所以问题转化为只需证明，因为借助F(x),由条件f(x)有界,设｜f（x)｜≤L,x∈［a,b］，而g（x）必为可积，从而对任给的ε>0，必有分割T:a=x0〈x1〈x2〈…<xn=b，使，现在把按积分区间可加性写成
对于I1，必有
对于I2，由于F(x0)=F(a）=0,和可得
再由g(x）≥0，且单调递减,使得其中g（xn—1）≥0，g（xi—1）-g（xi）≥0,i=1,2，…，n-1。
于是利用F(xi)≤M，i=1,2,…,n估计得
(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
- 3 -
(完整版)09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
同理利用F（xi）≥m，i=1,2，…，n估计得
综合I=I1+I2，|I1｜<ε， mg(a)≤I2≤Mg(a）,得到-ε+mg（a）≤I≤Mg(a)+ε，，由于ε为任意小的正数，这便证得mg(a)≤I2≤Mg（a)。
推论 设函数f(x)在[a,b］上可积，若函数g(x）在[a，b］上单调递减，且g(x)≥0,则存在ξ∈[a，b］使得
证明 若g(x)为单调减函数，令h（x）=g(x）—g(b)，则h(x)为非负递减函数，（i)，存在ξ∈[a,b］,使得
由于，因此证得
若g(x为单调递增函数，只需令h(x）=g(x)—g(a)，由定理9。11（ii)，同样可证成立.
积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具.