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数学分析题库（1—22章)
五．证明题
1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：
（1)对任何有；
（2）对任何,存在，使得。
证明：
证 由(1),用反证法。若，设，使得。
，B是非空数集，记,证明：
（1）；
（2）
证（1）若A，B中有一集合无上界，不妨设A无上界,则S也是无上界数集,于是，结论成立。若A，B都是有上界数集，且，现设法证明
（ⅰ），无论或,有
（ⅱ）于是
同理可证（2）.
3。 按定义证明
证
≤ （n>4）
，
取，当n>N时,
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〈。
注 >4，扩大之后的分式仍是无穷小数列。
-N方法给出的正面陈述？并验证｜｜和||是发散数列。
答 的正面陈述:〉0，，≥N，使得
｜｜≥
数列{}发散,.
（1），=，，只要取，便可使≥≥≥，于是{｝为发散数列。
（2）. 若a=1，=1，取为任何奇数时，有>。若a=-1,=1，取为任何偶数时，有>。 若a≠1，=，对任何n，有|｜≥。 故｜｜为发散数列.
5。用方法验证:
。
解 (1)消去分式分子、分母中当时的零化因子（x—1）:
。
（2)把化为，其中为x的分式:
，
其中。
（3)确定的邻域0〈｜x—1|<，并估计在此邻域内的上界:取，当0<|x—1｜<时，可得
≤，
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，
于是
.
（4)要使≤，
，
当0〈｜x—1｜〈时，.
6 用方法验证：
。
解
注意到当时,上式可以充分小，但是直接解不等式
，
希望由此得到x〈—M，整个过程相当繁复，现用放大法简化求M的过程。因为由
，
便可求得，，当x〈-M时，
.
7 设，在某邻域内，又证明
。 （1）
解 由，时,
。
又因为,故对上述（不妨取），当时，.由此可得：
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当时
，
即
.
注 称（1）为复合求极限法，（1）不仅对型的极限成立，且对于都成立.
8。设在点的邻域内有定义。试证：若对任何满足下述条件的数列,，,
， （2）
都有,则.
分析 由归结原则可知:上述结论不仅是充分的，而且是必要的。本题可看作函数极限归结原则的加强形式,即子列只要满足（2）的加强条件就可以了。注意下面证明中选子列的方法.
证 用反证法。若,则
，使得。取，,，，使得；
…………
取，，使得与相矛盾。所以成立.
9。 证明函数
在处连续,但是在处不连续。
证 时，因为，于是，即在x=0处连续。
时，，在中取为有理数,取为无理数，于是
。
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由函数极限柯西准则的否定形式可知在点处极限不存在，这样在点处不连续。时可类似地证明.
10。设在（0，1)内有定义，且函数与在（0,1）内是递增的,试证在(0,1）内连续。
需证在点连续，即。因为在（0，1）内的递增性保证了在（0，1）内是递减的，所以为了证明的存在性，很自然地想到利用函数极限的单调有界定理。
证 因为在(0，1)内递增，所以在（0，1）内递减。，首先来证明=。当时，≤,由函数极限的单调有界定理存在。又由函数极限保不等式性质,有
=≤.
另外，由于在（0，1）内递增,因此当时,
≤,
令，有
≤
即=，由在(0，1）中的任意性,可得在（0,1）内连续.
说明 其中应用了基本初等函数的连续性。
11 。 试证函数,在上是不一致连续的。
分析 需确定，可找到满足，但≥。
由于在任意闭区间（a〉0）上一致连续,因此当很小时,必须在中寻找，,
,
当n充分大时，能满足,但≥1。
证 ，取，，当时,使，但≥，即
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在上不一致连续。
12. 设函数在(a，b）内连续，且==0,证明在（a,b）内有最大值或最小值.
分析 因为==0，于是可把延拓成[a,b]上的连续函数，然后可以应用连续函数的最大、最小值定理.
证人 先把函数延拓成[a,b]上的函数F(x)，设
易知为［a,b］上的连续函数,这是因为
==0=，
==0=.
在［a,b]上对应用连续函数的最大、最小值定理，即，,在，，，则在（a，b）内恒为零，显然在（a,b)内同样能取得最大值和最小值；若，中有一个数在（a,b）内，则在（a，b）内取得最大值或最小值。
13. 证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数是连续的，则此函数在（a，b）内是一致连续的。
分析 因为是（a，b）内的单调有界函数,所以由函数极限的单调有界定理，可得存在，.证明本题的合理途径是把延拓成闭区间[a,b]上的连续函数在［a,b］上应用一致连续性定理.
证 因为是（a，b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理,与都存在,应用范例1中的方法，可把延拓为［a,b］上的连续函数，即
由一致连续性定理，可得在［a，b］上一致连续，于是为（a,b）内的一致连续函数.
14. 证明：若在点a处可导，f(x）在点a处可导。
分析 一般情况下，若在点处可导，,但
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在点0处不可导，反之,若在点处可导，一般也不能推得f（x）在点x0处可导。例如
处可导，但处不连续，因而不可导，然而,若在点a处连续，则由在点a处可导就可保证f（x）在点a处可导.
若，由连续函数局部保号性，，在其中保持定号，因而由在点处可导可推得在点a处也可导.
若，且在点a处可导，因为点a为的极值点，所以应用费马定理可以得到,再由此又可证得.
证 若，由连续函数局部保号性,,在中保持定号,于是在点a处可导，即为在点a处可导.
若,则点a函数的极小值点，因在点a处可导，由费马定理有
即
因为,所以
于是。
15。 设函数内可导，在［a，b］上连续，且导函数严格递增，若证明，对一切均有
证： 用反证法，若在区间上分别应用拉格朗日中值定理，使得
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这与为严格递增相矛盾.
16。 设函数在内可导，并且，试证：若当时，有则存在唯一的使得,又若把条件减弱为,所述结论是否成立？
分析 因为，若可以找到某点，使得则由的严格递增性,并应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的，使得
证 在上应用拉格朗日中值定理，，使得
于是
由于，因此当x充分大时总可使得
不妨设,所以上严格递增；在上应用连续函数的介值定理,则，且是唯一的.
假设满足,结论可能不成立,例如函数
，
满足,,但因恒小于0，故在中不存在，使得=0
17。 证明不等式
证 令, ,
且
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当时有，所以严格递增，
又在处连续,所以
，
所以严格递增， 又在处连续,所以
， ，
即 。
18。 设为上的连续函数，对所有,且，证明必能取到最大值.
证 由题设, 取, 由，
.
又在上连续， 由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知, 在能取到最大值,
且此最大值为在上的最大值。
19。若函数在上二阶可导, 且，,，则存在使得.
证法一: ， 把在0， 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项， 有
,
上两式相减, 有
.
记，则有
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,
即存在使得.
证法二： 在上对应用拉格朗日中值定理有
，.
当时,在上对应用拉格朗日中值定理有
，，.
当时，在上对应用拉格朗日中值定理有
，，.
综上证明知存在使得.
20。应用函数的单调性证明
证明：设
则 ,
而函数单调性定理知在上分别为严格递增和严格递减函数，再由结论知函数在也分别为严格递增和严格递减函数。
由于
所以有
，有