文档介绍：该【计算方法3 线性方程组迭代解法公开课一等奖课件赛课获奖课件 】是由【梅花书斋】上传分享，文档一共【60】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【计算方法3 线性方程组迭代解法公开课一等奖课件赛课获奖课件 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第3章 线性方程组迭代解法
Iterative Techniques for Solving Linear Systems
()
直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解，解线性方程组尚有另一种解法，称为迭代法
迭代法：不是用有限步运算求精确解，通过迭代产生近似解迫近精确解
基本思想是将线性方程组 AX＝B 化为X＝BX+F,再由此构造一种向量序列{X(k)}
X(k+1)=BX (k)+F
若{X(k)}收敛在某个极限向量X*，则可得X*就是()式的精确解
线性方程组的迭代法重要有Jocobi迭代法、 Gauss Seidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法
Jacobi迭代和Seidel迭代由于收敛速度较慢，已经越来越不适应目前信息时代人们对计算速度和精度的规定，因此在实际应用中使用的并不多。不过，他们体现了迭代法的最基本的思想，是学习其他迭代法的基础
怎样构造迭代序列{X(n)}?
{X(n)}在什么条件下收敛?
收敛速率怎样?
误差估计.
若在求解过程中 X(k) X*(k)，由 X(k+1)=(X(k))产生的迭代X(k)向X*的迫近 ，在多次迭代求解之后，由于机器跳动产生的X(k)值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐渐纠正过来。因此，在迭代求解过程中产生的多种误差是可以忽视的，即迭代求解无累积误差，实际上，X(k)只是解的一种近似，机器的舍入误差并不变化它的性质。
迭代过程中常常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。
向量和矩阵的范数 Norms of Vectors and Matrices
数值分析中,常常要用向量和矩阵,为了应用的需要(误差分析), 引入衡量向量和矩阵大小的度量——范数.
对于实数x∈R,我们定义了绝对值,满足
|x|≥0 非负性
|αx|=|α|·|x| 齐次性
|x+y|≤|x|+|y| 三角不等式
类似地,定义向量范数
在实n维线性空间Rn中定义一种映射,它使任意X∈ Rn 有一种非负实数与之对应,记为||X||,且该映射满足:
正定性 任意X∈Rn,||X||≥0,if and only if X=0时, ||X|| =0
齐次性 任意X∈Rn, λ∈R,有 ||λX||=|λ|·||X||
三角不等式 任意X,Y∈ Rn,有 ||X+Y||≤||X|| + ||Y||
则称该映射在Rn中定义了一种向量范数.
注: Rn中的范数不唯一.
常用的向量范数有三种: 设X=(x1, x2,…, xn)T∈
注: (1) 用范数的定义可验证上述皆为向量范数
(2) p=1,2, ||X||p 即为 ||X||1 ,||X||2.
(3) 任意x∈Rn:
设||•||α和||•||β是Rn上任意两种范数，则存在正常数C1和C2，使得对一切X∈ Rn 有
C1||X||α||X||β C2||X||α
注: Rn中范数的等价性表明,虽范数值不一样,但考虑到向量序列收敛性时,却有明显的一致性.
Rn中X＝(x1, x2,…, xn)T和Y＝(y1, y2,…, yn)T则有
有解 (x1, x2, x3)T＝(1,1,1)T，用Gauss消去法得到近似解